我可以在不計算角度的情況下找到餘弦值的正弦值嗎？

交叉乘積的大小描述了用於構建交叉乘積的兩個向量（u，v）描述的平行四邊形的符號區域，它有其用途。這個相同的大小可以計算爲u乘以u和v之間角度的正弦的幅度的倍數： || u |||| v || sin（theta）。我可以在不計算角度的情況下找到餘弦值的正弦值嗎？

現在U（歸一化）和v（歸一化）的點積給出u和v之間的角度的餘弦值：== COS（THETA）的點（正常化（U），歸一化（V））

我希望能夠得到與餘弦值有關的符號正弦值。這是相關的，因爲正弦波和餘弦波的PI/2不同步。我知道1的平方根減去餘弦值的平方給出了無符號正弦值： sin（theta）== sqrt（1-（cos（θ）*cosθ）其中cos（θ）I mean 。點積不角度

但是隨之而來極性符號計算（+/-）需要THETA作爲角度：（COS（希塔+ PI/2））>或==或如果非要執行ACOS功能我還不如干脆做叉積，找到幅度。

有沒有可以添加到一個餘弦值，以獲得其相關的正弦值已知比例或步？

來源

2012-10-15 ste3e

你要知道哪個象限THETA是其他明智總有一個給定的正弦/餘弦兩種可能的角度值。請注意，這個問題也適用於ArcSin和ArcCos，所以這不是一個解決方案。 – RBarryYoung

我可以看到矢量的象限是已知的（如果（+，+，+），則（x，y，z），如果（+， - ， - ）則（x，-y，-z）等）的世界空間，但是計算一個旋轉空間（逆旋轉矩陣和確定符號）看起來會使交叉乘積值成爲更便宜的選擇。 – ste3e

這是2D還是3D？在2D中，您可以得到交叉乘積 - 從而得到正弦的符號 - 用兩次乘法和一次減法。在3D中，角度符號的問題是任意的，除非您將任意方向定義爲「向上」。 – Joni

對於每個可能的餘弦，如果相應的角度不受限制，兩個符號都可能用於正弦。

如果知道角度在[0,pi]之間，則正弦必須爲正或零。

如果你想知道平行四邊形的面積，總是採取積極分支sin(x) = sqrt(1 - cos(x)^2)。如果你有兩個向量，直接使用交叉積或點積，而不是另一個並進行轉換。如果你有兩個向量，直接使用交叉積或點積，而不是另一個進行轉換。

來源

2012-10-15 21:15:46

我只關心幅度是正值，零值還是負值，因爲它是有用的，決定了一個點是否按照給定的方向依次存在......該區域與我所需要的無關。如果可能的話，我正在尋找一種更有效的方法來獲取此有符號值，而不是跨產品和幅值計算。 – ste3e

如果您只關心正面，負面或零，則可以使用未歸一化向量的叉積。 – phkahler

-2

我想我找到了解決方案。 v perp

cos(b) == sin(a) 

v_parallel = dot(normalize(u), v) // the projection of v on u 

v_perp = normalize(v) - v_parallel 

cos(b) = dot(normalize(v), v_perp) // v_perp is already normalized

因此，

u cross v = magnitude(u) * magnitude(v) * cos(b)

來源

2012-10-16 00:25:12 ste3e

這是一個解決方案嗎？你說你想要比「跨產品和量級計算」更好的方法。 – Beta

你說|⊥| = 1，但你定義⊥=/|| - ∥。由於|/||| = 1，相減/ || - ∥不能是1 - 你*做*必須歸一化⊥。另外，這有什麼用處呢？我雖然想從'罪（a）'轉到'cos（a）'，但你在這裏有'sin（apple）== cos（orange）'。 –

幅度在我看來，像一個複雜的方式去atan2身份：

d = · = ||||cosθ 
c = |×| = ||||sinθ (with 0° < θ < 180°) 

tanθ = ·/|×| 
    θ = atan2(c·sgn(c|z), d) (= four quadrant)

其中sgn(c|z)是Z-的符號c中的分量（除非和兩者都與xz或yz平面完全平行，那麼它的y分量和xc的符號分別）。

現在，從基本的trig公司的身份，

r = √(x²+y²) 

cos(atan2(y,x)) = x/r 
sin(atan2(y,x)) = y/r

因此，

sinθ = c·sgn(c|z)/√(c²+d²) 
cosθ = d/√(c²+d²)

來源

2012-10-16 13:50:40

我可以在不計算角度的情況下找到餘弦值的正弦值嗎？

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