d²x/dt² + a·dx/dt + 7.9·x³ = 3.2·sin(xt)
初始條件
x(0) = +1.2
dx/dt(0) = −3.3
x(2.3) = −0.6
查找數值的a
所有可能的值,每個值精確到至少3個顯著數字。
除了蠻力還有解決這個問題的方法嗎?
d²x/dt² + a·dx/dt + 7.9·x³ = 3.2·sin(xt)
初始條件
x(0) = +1.2
dx/dt(0) = −3.3
x(2.3) = −0.6
查找數值的a
所有可能的值,每個值精確到至少3個顯著數字。
除了蠻力還有解決這個問題的方法嗎?
據我所知,這是不可能解決這個問題,如上所述。
這是我做的。我實現您的問題在一個合理的一般方式:
%{
Find all 'a' for which
d²x/dt² + a·dx/dt + 7.9·x³ - 3.2·sin(xt) = 0
with initial conditions
x(0) = +1.2
dx/dt(0) = −3.3
x(2.3) = −0.6
%}
function odetest
% See how the function search_a(a) behaves around a = 0:
test_as = 0 : 0.1 : 10;
da = zeros(size(test_as));
for ii = 1:numel(test_as)
da(ii) = search_a(test_as(ii)); end
figure(100), clf, hold on
plot(test_as, da)
axis tight
xlabel('a')
ylabel('|x(2.3) - 0.6|')
% Roughly cherry-pick some positive values, improve the estimate, and
% plot the solutions
opt = optimset('tolfun',1e-14, 'tolx',1e-12);
plot_x(fminsearch(@search_a, 0.0, opt), 1)
plot_x(fminsearch(@search_a, 1.4, opt), 2)
plot_x(fminsearch(@search_a, 3.2, opt), 3)
% Plot single solution
function plot_x(a,N)
[xt, t] = solve_ode(a);
figure(N), clf, hold on
plot(t,xt)
plot(2.3, -0.6, 'rx', 'markersize', 20)
title (['x(t) for a = ' num2str(a)])
xlabel('t')
ylabel('x(t)')
end
end
% Solve the problem for a value a, and return the difference between the
% actual value and desired value (-0.6)
function da = search_a(a)
a_desired = -0.6;
xt = solve_ode(a);
da = abs(xt(end) - a_desired);
end
% Solve the problem for any given value of a
function [xt, t] = solve_ode(a)
y0 = [1.2 -3.3];
tfinal = 2.3;
opt = odeset('AbsTol',1e-12, 'RelTol',1e-6);
[t,yt] = ode45(@(y,t) odefun(y,t,a), [0 tfinal], y0, opt);
xt = yt(:,1); % transform back to x(t)
end
% Most ODE solvers solve first-order systems. This is not a problem for a
% second-order system, because if we make the transformation
%
% y(t) = [ x (t)
% x'(t) ]
%
% Then we can solve for
%
% y'(t) = [ x' (t)
% x''(t) ] <- the second-order homogeneous DE
%
function dydt = odefun(t,y,a)
dydt = [y(2)
-a*y(2) - 7.9*y(1)^3 + 3.2*sin(y(1)*t)];
end
,第一部分給了我這個人物:
一些進一步的調查表明,這僅增長較大a
。
這個數字引起了最初的估計a = [0, 1.4, 3.2]
,我通過fminsearch()
改善,繪製的解決方案:
所以,這可能使你在交功課: )
但是,爲什麼我說這是不可能回答這個問題,因爲這是第一個情節看起來像負a
:
的振盪行爲似乎無限期地持續下去,並在零點之間的間距似乎在不可預測的方式來減少。
現在,我的大學日子已經很長時間了,我對ODE理論不再那麼瞭解了。也許有是一個模式,它只是不顯示,因爲數值問題。或者也許振盪在一些值之後停止,永不再返回。或者在a = +1053462664212.25
可能會出現另一個零。
我無法證明任何這些東西,我只知道如何蠻力;其餘的由你決定。
在圖中它應該是「| x(2.3)+ 0.6 |'」或者''| x(2.3) - (-0.6)|''。 – LutzL
是啊!我最終也做了同樣的事情,我測試了它-6,振盪繼續發生。雖然這不是一個家庭作業:) –
如果你想解決這個問題,Matlab有一個[ode求解](https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html?requestedDomain=www.mathworks.com),或者你是問學問? – code11
所以我的意思是使用Matlab進行數值計算,我知道ode45,但是我應該採用a的所有可能值並找到x(0),然後以y = -0.6作爲交點。或者,還有其他解決方案嗎? –
Matlab似乎也有一個[符號微分方程](https://www.mathworks.com/help/symbolic/dsolve.html)求解器,它應該做你想做的。大約三分之一的方法是一個例子,他們展示瞭解決方案(對於一個常量)一個二階方程,就像你提供的方程。 – code11