計算矢量的導數

我有以下功能（維維安尼的曲線）：計算矢量的導數

Phi  = @(t)[ cos(t)^2, cos(t)*sin(t), sin(t) ]

只是檢查，它是有效的：

s = linspace(0,T,1000); 
plot3(cos(s).^2, cos(s).*sin(s), sin(s));

如何衍生功能Phi（也許多次），其代表Viviani的曲線點t其中t從0變爲2*pi？我是否定義了Phi適合這樣的衍生物？我試過diff，但它並沒有保留我所需要的Phi。

如果二階導數是Phi_d2，我需要得到它的值（例如在t = 0）。

我該如何做到這一點？

來源

2013-12-16 Dyin

你想獲得它的數值或分析（需要符號數學工具箱）？爲什麼不用手？ – thewaywewalk

要在沒有任何附加工具箱的情況下進行數值計算，可以使用簡單的有限差分（http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_difference），例如'（Phi（1.1）-Phi（.9））/。2'來計算t = 1.0時的一階導數 – tim

這裏有三種方法可以實現這一點。第一種使用subs，第二使用symfun，第三個使用complex step differentiation：

% Using subs 
syms t 
Phi = [cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)]; 
Phi_d2 = diff(Phi,t) 
double(subs(Phi_d2,t,0)) 

% Using symfun 
syms t 
Phi(t) = [cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)]; 
Phi_d2 = diff(Phi,t) 
double(Phi_d2(0)) 

% Using complex step differentiation 
Phi = @(t)[cos(t) cos(t).*sin(t) sin(t)]; 
h = 2^-28; 
cdiff = @(f,x)imag(f(x(:)+1i*h))/h; 
Phi_d2 = cdiff(Phi,0)

你可以找到執行第一級和第二級複雜的一步分化on my GitHub: cdiff功能。請注意，復階分解對於高階導數不適用。當只有一個非微分函數或需要快速數值一階導數時最好。

來源

2013-12-16 15:27:25 horchler

+1我不知道你可以做'Phi（t）= ...'來製作一個symfun。謝謝。 – ja72

@ ja72：這是一個稍微更新的功能，所以舊版本不支持它 - 我認爲它是與Matlab R2012a一起推出的。 – horchler

必須與開溝楓木和mupad一致。我認爲這是一個疏忽，你無法定義任意函數，但是現在你可以用'syms f（x）'，這樣你就可以象'diff（1/f（x），x）'這樣象徵性地評估'-diff F（X）中，x）/ F（X）^ 2'。 – ja72

爲了完整起見，數值解，而無需使用任何額外的工具箱：

N = 999; 
t = linspace(0,2*pi,N+1); 
Phi = [cos(t); cos(t).*sin(t); sin(t)]; 
dPhi = gradient(Phi,2*pi/N)

對於非均勻間隔的參數矢量，的gradient第二個參數是由間隔矢量，而不是標量限定。（時間或角度矢量是合適的） - 在這種情況下顯然需要分割尺寸。（雖然我不知道爲什麼。）

所以另外，雖然沒有必要：

dX = gradient(Phi(1,:),t); 
dY = gradient(Phi(2,:),t); 
dZ = gradient(Phi(3,:),t); 
dPhi = [dX; dY; dZ];

來源

2013-12-16 15:46:20 thewaywewalk

此處需要't（2）-t（1）'的間距參數，否則您將得到錯誤縮放的答案。默認情況下，「gradient」的間距爲1。而且我沒有辦法處理非統一的時間向量，只是指出了問題 - 除了解決問題，可能會有問題。 – horchler

此外，對於一階導數，您會發現複雜的階梯差異（不需要任何工具箱）比使用'gradient'具有更少的誤差。 – horchler

如果您使用'linspace'並且要求準確性，'2 * pi/N'不是正確的間距。應該使用't（2）-t（1）'，因爲所有的點都有很大的距離，除了最後一個點之外。 – horchler

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