如何使用mathematica隱式求解單個變量的微分方程？

Question

我試圖迫使數學隱含區分形式的橢圓方程：

x^2/a^2+y^2/b^2 == 100 

與a = 8和b = 6。

命令我使用的是這個樣子的：

D[x^2/a^2 + y^2/b^2 == 100/. y -> 3/4*Sqrt[6400-x^2], x] 

其中，y->3/4*Sqrt[6400-x^2]來自於x方面解決y。

我能走到今天按照這裏找到的建議：http://www.hostsrv.com/webmaa/app1/MSP/webm1010/implicit

輸入此腳本是beween x和y的隱式 關係演算的教科書表示傳統的方式。在 Mathematica中，您需要通過使用y [x] 來代替y來明確這種關係。這是在腳本中自動完成的，用y [x]代替 y的所有出現。

但解決數學給人沒有在它y'或dy/dx（比如當我解決了它的手）。所以我認爲它沒有被正確解決。任何關於什麼命令會讓程序解決隱式差異的想法？謝謝。

Answer 1

的概念最簡單的選擇（如你所提到的）是使y的x的功能和使用partial derivative operator D[]

In[1]:= D[x^2/a^2 + y[x]^2/b^2 == 100, x] 
     Solve[%, y'[x]] 

Out[1]= (2 x)/a^2 + (2 y[x] y'[x])/b^2 == 0 

Out[2]= {{y'[x] -> -((b^2 x)/(a^2 y[x]))}} 

但是對於更復雜的關係，最好使用total derivative operator Dt[]

In[3]:= SetOptions[Dt, Constants -> {a, b}]; 

In[4]:= Dt[x^2/a^2 + y^2/b^2 == 100, x] 
     Solve[%, Dt[y, x]] 

Out[4]= (2 x)/a^2 + (2 y Dt[y, x, Constants -> {a, b}])/b^2 == 0 

Out[5]= {{Dt[y, x, Constants -> {a, b}] -> -((b^2 x)/(a^2 y))}} 

請注意，使用SetAttributes[{a, b}, Constant]而不是SetOptions[Dt, Constants -> {a, b}]命令可能會更合適...然後Dt不會攜帶所有那額外的垃圾。

的最後一個選項（你也提到）是解決y[x]原方程，雖然這並不總是可能的...

In[6]:= rep = Solve[x^2/a^2 + y^2/b^2 == 100, y] 

Out[6]= {{y -> -((b Sqrt[100 a^2 - x^2])/a)}, {y -> (b Sqrt[100 a^2 - x^2])/a}} 

你可以檢查它是否滿足我們得到的微分方程上述兩種解決方案

In[7]:= D[y /. rep[[1]], x] == -((b^2 x)/(a^2 y)) /. rep[[1]] 

Out[7]= True 

你可以用替換規則{a->8, b->6}隨時替換你的價值觀a = 8和b = 6。

如果實際使用DSolve與正確的初始條件（從原來的橢圓方程導出），那麼你就恢復在上面給出的x條款y解決方案解決您的微分方程y'[x] == -((b^2 x)/(a^2 y[x])。