我試圖從通常用於指定晶體單元單元的參數生成一些軸向量。這些參數由三個軸的長度組成：a，b，c以及它們之間的角度：alpha，beta，gamma。按照慣例，α是b軸和c軸之間的角度，β在a和c之間，以及a和b之間的γ。由角度分隔的軸
現在獲得前兩個向量表示很容易。我可以任意設置a軸到x軸，所以a_axis = [a，0,0]。然後，我需要將角度γ從b旋轉一個角度，所以我可以停留在x-y平面上，並且b_axis = [b * cos（gamma），b * sin（gamma），0]。
問題是第三個向量。我找不出一個很好的乾淨方式來確定它。我已經想出了一些不同的解釋，但沒有一個解決了。人們想象在軸線axis_a和axis_b周圍有兩個錐體，其大小由角度α和β指定。這些圓錐的交點創建兩條線，正z方向的線可以用作長度爲c的axis_c的方向。
有人知道我該如何去確定axis_c嗎？
謝謝。
兩個向量ü之間的α角，V已知長度的可從它們的內（點）的產物<發現U，V >：
COS（阿爾法）= < U， v > /（|| u || || v ||）
也就是說，alpha的餘弦是兩個向量的內積除以它們長度的乘積。
所以你的第三個z分量可以是任何非零值。縮放任何或所有軸矢量的你得到的角度之後不會改變角度，讓我們假設（假設）鋯石= 1
現在前兩個向量很可能會成爲A =（1,0 ，0）並且B =（cos（gamma），sin（gamma），0）。這些都具有長度l，所以這兩個條件，以滿足與選擇C是：
COS（阿爾法）= < B，C >/|| ||Ç
COS（測試版）= < A，C >/|| ||Ç
現在我們只有兩個未知數Cx和Cy來解決。爲了簡單起見，我將把它們稱爲x和y，即C =（x，y，1）。因此：
COS（阿爾法）= [cos（伽馬）* X + SIN（伽馬）* Y]/SQRT（X^2 + Y^2 + 1）
COS（測試版）= X/！（SQRT（X^2 + Y^2 + 1）
由第二（假設的β除以所述第一方程不是直角），我們得到：
COS（阿爾法）/ COS（測試版） = COS（伽瑪）+ SIN（伽馬）*（Y/X）
這是一個線性方程來求解比r = Y/X。一旦你有了，在上面的第二個方程中代入y = rx，並且平方給出了x的二次方程：其中x = 0，其中x = 0，其中x = 0，^2
COS^2（測試版）=（1 - COS^2（測試版）*（1 + R^2））的x^2
X^2 = COS^2（測試版）/ [ （1 -cos^2（beta）*（1 + r^2））]
通過對方程進行平方，我們引入了一個工件根，對應於選擇x的符號。因此，檢查在「原始」第二個方程中得到的x的解，以確保得到cos（beta）的正確符號。
補充：
如果測試是一個直角，情況比上述更簡單。 X = 0被強制，並且我們只有解決y的第一方程：
COS（阿爾法）= SIN（伽馬）* Y/SQRT（Y^2 + 1）
磨邊和乘法遠分母爲y提供了一個二次方，與我們之前所做的相似。記住要檢查你的標誌的選擇。Y：
COS^2（阿爾法）*（Y^2 + 1）=罪^ 2（伽馬）* Y^2
COS^2（阿爾法） = [sin^2（γ）-cos^2（α）] * y^2
y^2 = cos^2α/ [sin ^2γ-cos ^2α]實際上，如果其中一個角度α，β，γ是直角，爲了簡化計算，最好標記該角度γ（在前兩個向量A，B之間）。
我不確定這是否正確，但我不妨試一試。希望我不會得到數十億的票...
我懶得按照必要的數量縮放矢量，所以我會假設它們都被標準化爲長度爲1。對計算進行一些簡單的修改以說明不同的尺寸。另外，我將使用*來表示點積。
A =（1，0,0）
B =（COS（克），SIN（克），0）
C =（CX，CY，CZ）
甲* C = cos（beta）//這只是點積的定義。我假設幅度是1，所以我可以跳過那部分，並且你說β是A和C之間的角度。
A * C = Cx //我通過將每個相應的值，和賽揚和鋯石被忽略，因爲他們被乘以0
COS（測試版）= CX //合併前兩個方程
B * C = COS（阿爾法）
B * C = Cx * cos（g）+ Cy * sin（g）=cosβ* cos（g）+ Cy * sin（g）
（cos（alpha） - cos（beta）* cos（g））/（sin（g））= Cy
說實話，我不知道如何獲得向量C的z分量，我希望它是一個更簡單的步驟。如果我能弄明白，我會編輯我的帖子。
是的，z是殺手...我已經能夠找出將被投影到xy平面上的c_axis的「陰影」擊中的x/y座標，但沒有取得任何進展那裏。 – Cyclone
這裏是要找到所有CX，CY，鋯石（前兩個是一樣的，在其他的答案）的方式，因爲A =（AX，0,0），B =（BX，BY，0） ，並假設| C | = 1
1）COS（測試版）= AC /（| A || C^|）= AxCx/| A | =>Cx = |A|cos(beta)/Ax = cos(beta)
2）cos（alpha）= BC /（| B || C |）=（BxCx + ByCy）/ | B | =>Cy = (|B|cos(alpha)-Bx cos(beta))/By
3）找到Cz讓O爲（0,0,0）處的點，T爲（Cx，Cy，Cz）處的點，P爲T對Oxy的投影，Q爲T對牛的投影。所以P是（Cx，Cy，0）處的點，Q是（Cx，0,0）處的點。因此，從直角三角形OQT我們得到
tan（beta）= | QT |/|| OQ | = | QT |/CX
，並從直角三角形TPQ我們得到| TP |^2 + | PQ |^2 = | QT |^2。所以
Cz = |TP| = sqrt(|QT|^2 - |PQ|^2) = sqrt(Cx^2 tan(beta)^2 - Cy^2)
謝謝！我是*方式*過分複雜。我必須記住它可以分解方程！我認爲這就是我放棄這種方法的地方。再次感謝。 – Cyclone
歡迎！我們可以通過對兩個方程進行平方和清除分母來避免劃分方程，然後求解兩個未知數x^2和y^2（C的分量）中的兩個線性方程。然而，看起來有點尷尬，因爲x和y的符號都必須在那個時候檢查。如果它是編程而不是手動解決的話，這可能是值得考慮的。注意分母（x^2 + y^2 + 1）非零，因此不是編碼的特殊情況的來源。 – hardmath