在找到兩個平面相交的線的情況下，需要取兩個平面法線的叉積。這個交叉乘積簡單地取矩陣的行列式：如何找到兩架超平面相交的平面？
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
其中（x，y，z）是每個平面的法向量。結果是一個平行於相交線的矢量。從那裏你需要找到一個位於兩架飛機上的點。這兩個部分結合起來給你一個完全定義的線。
這怎麼能延伸到在飛機上相交的超平面？我會假設我需要採取類似矩陣的行列式，但我想到的矩陣：
h i j k
w1 x1 y1 z1
w2 x2 y2 z2
不是方矩陣。另外，我不知道如何找到兩個超平面上的一點。
任何人都可以向我解釋如何找到超平面的交叉平面？
謝謝你的時間！
您不必爲此計算行列式，只需執行簡單變量替換即可得到相交平面。舉例來說，如果你有2個超平面：
3x + 4y + 2z - 7w = 10
2x - 3y + 2z + 1w = 2
然後，您可以隔離w（或任何其他變量）：
w = 2 - 2x + 3y - 2z
而且第一個等式中替換：
3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z) = 10
其結果如下：
17x - 17y + 16z - 14 = 10
現在你有你的十字路口飛機。只是簡單的數學。
完整的4D平面表示法基於兩個方程式，首先找到(x, y, z)值解決17x - 17y + 16z - 14 = 10，然後使用w = 2 - 2x + 3y - 2z計算w。
但是這並沒有給出飛機在4D空間中的位置。就好像你用兩個相交的線在同一條線上試着這種方法一樣。當然，你會得出一條線的方程。但是，您沒有3D空間中的線條公式，這真的是您想要的。例如，x + y + z = 1和x + 2y + 3z = 2。通過你的方法，我會找到z = 1-x-y。然後x + 2y + 3（1-x-y）= 2。這給出2x + y = 1。但這不是3D空間中的交叉線，這就是我們正在尋找的。 – 2012-04-29 03:25:36
實際上它給了你四個維度的平面位置。在我的例子中，使用兩個方程獲得完整的平面描述，首先找到求解[3x + 4y + 2z - 7（2 - 2x + 3y - 2z）= 10]的（x，y，z）值，然後計算「w」使用[w = 2 - 2x + 3y - 2z]。你將以構成飛機的所有4D點結束。 – 2012-04-29 13:39:47
啊是的。你說得很對。非常感謝你！ – 2012-04-30 03:32:51
簡單變量替換的答案不正確。 3x + 4y + 2z - 7（2 - 2x + 3y - 2z）= 10本身就是四維空間中的三維超平面，並不代表四維空間中兩個給定三維超平面的交集。等式少一個變量的事實不會降低對象的維度。
對於類比：y = 7仍然是2d中的一維線，就像y = x + 7一樣。而z + y = 5仍然是3D中的二維平面，就像x + y + z = 5一樣。
變量替換在3D中不起作用，我們按照概述進行交叉產品，並且它在4D中不起作用。需要2個方程來表示4D中的2D對象（兩個3D超平面的交集是2D對象）。對於比喻，告訴我單個「方程」，它映射爲2D中的一個點。 y = 5x + 2是直線，y = x是直線，x = 6是直線，y = 0是直線。即使簡單的方程y = 1是一個3D超平面，如果我們在4D。去除變量不是獲得2D中0D點，3D中1D線或4D中2D 2D相交的方程。所有這些都需要兩個同時真正的方程來定義它們。不能只是替換變量。
我更新了答案，以澄清4D表示基於兩個等式，而不僅僅是一個，正如我在12月4日13：39發表的評論中所解釋的那樣[ – 2017-07-02 15:36:19
您需要設置與超平面相對應的矩陣系統（Ax = b），然後查看解的等級。這將告訴我們它是否有解決方案，如果是的話，是否有點/線/平面等。
我有一個問題：這是真的「存在R N 3-暗淡hyperlanes^4，使得它們之間的交叉點是一個平面，對於所有正整數n」
也許這將是更適合到http://math.stackexchange.com/。 – cmbuckley 2012-04-29 14:51:45