如何解決Python中的函數逼近任務？

Question

考慮線路上的複雜的數學函數[1,15]： F（X）=的sin（x/5）* EXP（X/10）+ 5 * EXP（-x/2）

度數n（w_0 + w_1x + w_2x^2 + ... + w_nx^n）的多項式由其通過的任何n + 1個不同點唯一地定義。 這意味着其係數w_0，... w_n可以從線性方程組的以下系統來確定：

凡X_1，...，x_n，X_ {N + 1}是點（x_1），...，f（x_n），f（x_ {n + 1}） - 在這些點必須採取的值。

我想要爲第三次多項式形成一個線性方程組（即指定係數矩陣A和自由向量b）的系統，它必須與點1，4上的函數f重合，10和15.使用scipy.linalg.solve函數解決這個系統。

A = numpy.array（[[1.,1,1,1,1]，[1.,4.8,64。]，[1.,10.10,100,1000 ]，[1，15，225，3375。]]）

V = numpy.array（3.25，1.74，2.50，0.63]）

numpy.linalg.solve（A， V）

我答錯了，這是

因此問題是：是矩陣正確的嗎？

Answer 1

不，你的矩陣不正確。

最大的錯誤是你的第二個子矩陣A。第三項應該是4**2這是16，但你有8.不太重要，你只有兩個小數位爲常量數組V，但你真的應該有更多的精度。線性方程組有時對提供的值非常敏感，所以儘可能精確地使它們變得精確。另外，最後三項中的四捨五入是很糟糕的：你倒過來了，但你應該四捨五入。如果你真的想保留兩位小數（我不推薦）的值應該是

V = numpy.array([3.25, 1.75, 2.51, 0.64]) 

但更好的是

V = numpy.array([3.252216865271419, 1.7468459495903677, 
       2.5054164070002463, 0.6352214195786656]) 

這些變化對A和V我得到的結果

array([ 4.36264154, -1.29552587, 0.19333685, -0.00823565]) 

我得到這兩個sympy圖，第一個顯示你的原始功能，第二個顯示你的原始功能，第二個使用近似的三次多項式。

他們看起來接近我！當我計算1,4,10和15的函數值時，最大絕對誤差爲15，即-4.57042132584462e-6。這比我預期的要大一些，但可能已經足夠好了。

Answer 2

它來自數據科學課程嗎？ :) 這裏幾乎是一個通用的解決方案我所做的：

%matplotlib inline 

import numpy as np; 
import math; 
import matplotlib.pyplot as plt; 

def f(x): 
    return np.sin(x/5) * np.exp(x/10) + 5 * np.exp(-x/2) 

# approximate at the given points (feel free to experiment: change/add/remove) 
points = np.array([1, 4, 10, 15]) 
n = points.size 

# fill A-matrix, each row is 1 or xi^0, xi^1, xi^2, xi^3 .. xi^n 
A = np.zeros((n, n)) 
for index in range(0, n): 
    A[index] = np.power(np.full(n, points[index]), np.arange(0, n, 1)) 

# fill b-matrix, i.e. function value at the given points 
b = f(points) 

# solve to get approximation polynomial coefficents 
solve = np.linalg.solve(A,b) 

# define the polynome approximation of the function 
def polinom(x): 
    # Yi = solve * Xi where Xi = x^i 
    tiles = np.tile(x, (n, 1)) 
    tiles[0] = np.ones(x.size) 
    for index in range(1, n): 
     tiles[index] = tiles[index]**index 
    return solve.dot(tiles) 

# plot the graphs of original function and its approximation 
x = np.linspace(1, 15, 100) 
plt.plot(x, f(x)) 
plt.plot(x, polinom(x)) 

# print out the coefficients of polynome approximating our function 
print(solve)