逼近反三角函數

Question

我要實現環境ASIN，ACOS和ATAN這裏我只以下的數學工具：

• 正弦
• 餘弦
• 基本定點運算（浮點數不可用）

我也已經有相當不錯的平方根功能。

我可以使用它們來實現合理高效的反三角函數嗎？

我不需要太高的精度（反正浮點數的精度非常有限），基本的近似值可以。

我已經半決定去查表，但我想知道是否有一些整潔的選項（這不需要幾百行代碼來實現基本的數學）。

編輯：

要澄清一些事情：我需要以每秒35幀運行函數每秒數百幀時間。

Answer 1

你需要一個大的精度arcsin(x)功能？如果否，則可以在N個節點中計算arcsin，並將值保存在內存中。我建議使用行aproximation。如果x = A*x_(N) + (1-A)*x_(N+1)則x = A*arcsin(x_(N)) + (1-A)*arcsin(x_(N+1))其中arcsin(x_(N))是已知的。

Answer 2

您可能想要使用近似值：使用infinite series，直到解決方案足夠接近您爲止。

例如：
arcsin(z) = Sigma((2n!)/((2^2n)*(n!)^2)*((z^(2n+1))/(2n+1)))其中n在[0，無窮大）

Answer 3

也許一些種像牛頓拉普遜智能蠻力。

所以解決ASIN（）你最速下降下去了罪（）

Answer 4

http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Expression_as_definite_integrals

你能做到這一點的整合數字與你的平方根函數，用無窮級數逼近：

Answer 5

在固定點e環境（S15.16）我成功地使用了CORDIC算法（參見維基百科的一般描述）來計算atan2（y，x），然後使用知名的函數標識從asin（）和acos根：

asin(x) = atan2 (x, sqrt ((1.0 + x) * (1.0 - x))) 
acos(x) = atan2 (sqrt ((1.0 + x) * (1.0 - x)), x) 

事實證明，找到一個有用的關於atan2（）的迭代的CORDIC迭代比我想象的更難。下面的網站似乎包含足夠詳細的說明，同時還討論了兩種替代方法，多項式逼近與查找表：

http://ch.mathworks.com/examples/matlab-fixed-point-designer/615-calculate-fixed-point-arctangent

Answer 6

用多項式逼近。最小二乘擬合最容易（Microsoft Excel有它）和切比雪夫近似更準確。

這個問題已經被覆蓋前：How do Trigonometric functions work?

Answer 7

將以下代碼添加到固定點應該很容易。它使用rational approximation來計算歸一化到[0 1）區間的反正切（你可以乘以Pi/2得到真正的反正切）。然後，您可以使用well known identities從反正切中獲取弧線/弧線。

normalized_atan(x) ~ (b x + x^2)/(1 + 2 b x + x^2) 

where b = 0.596227 

的最大誤差是0.1620º

#include <stdint.h> 
#include <math.h> 

// Approximates atan(x) normalized to the [-1,1] range 
// with a maximum error of 0.1620 degrees. 

float norm_atan(float x) 
{ 
    static const uint32_t sign_mask = 0x80000000; 
    static const float b = 0.596227f; 

    // Extract the sign bit 
    uint32_t ux_s = sign_mask & (uint32_t &)x; 

    // Calculate the arctangent in the first quadrant 
    float bx_a = ::fabs(b * x); 
    float num = bx_a + x * x; 
    float atan_1q = num/(1.f + bx_a + num); 

    // Restore the sign bit 
    uint32_t atan_2q = ux_s | (uint32_t &)atan_1q; 
    return (float &)atan_2q; 
} 

// Approximates atan2(y, x) normalized to the [0,4) range 
// with a maximum error of 0.1620 degrees 

float norm_atan2(float y, float x) 
{ 
    static const uint32_t sign_mask = 0x80000000; 
    static const float b = 0.596227f; 

    // Extract the sign bits 
    uint32_t ux_s = sign_mask & (uint32_t &)x; 
    uint32_t uy_s = sign_mask & (uint32_t &)y; 

    // Determine the quadrant offset 
    float q = (float)((~ux_s & uy_s) >> 29 | ux_s >> 30); 

    // Calculate the arctangent in the first quadrant 
    float bxy_a = ::fabs(b * x * y); 
    float num = bxy_a + y * y; 
    float atan_1q = num/(x * x + bxy_a + num); 

    // Translate it to the proper quadrant 
    uint32_t uatan_2q = (ux_s^uy_s) | (uint32_t &)atan_1q; 
    return q + (float &)uatan_2q; 
} 

如果你需要更精確，有一個3階有理函數：

normalized_atan(x) ~ (c x + x^2 + x^3)/(1 + (c + 1) x + (c + 1) x^2 + x^3) 

where c = (1 + sqrt(17))/8 

其中有0.00811最大逼近誤差º

Answer 8

在此提交我的回答other similar question.

NVIDIA已經和我已經用我自己的用途，舉幾個例子一些重要的資源：acosasinatan2等等...

這些算法產生足夠精確的結果。下面是他們的代碼拷貝直線上升Python的例子在粘貼：

import math 
def nVidia_acos(x): 
    negate = float(x<0) 
    x=abs(x) 
    ret = -0.0187293 
    ret = ret * x 
    ret = ret + 0.0742610 
    ret = ret * x 
    ret = ret - 0.2121144 
    ret = ret * x 
    ret = ret + 1.5707288 
    ret = ret * math.sqrt(1.0-x) 
    ret = ret - 2 * negate * ret 
    return negate * 3.14159265358979 + ret 

而且這裏的結果進行比較：

nVidia_acos(0.5) result: 1.0471513828611643 
math.acos(0.5) result: 1.0471975511965976 

那是相當接近！乘以57.29577951即可獲得度數的結果，這也是來自他們的「度數」公式。

Answer 9

只有連續函數可以用多項式近似。並且arcsin（x）在點x = 1.same arccos（x）中是不連續的。但是在這種情況下，範圍減少到區間1，sqrt（1/2）可以避免這種情況。我們有arcsin（x）= pi/2-arccos（x），arccos（x）= pi/2-arcsin（x）。你可以使用matlab進行最小最大逼近。僅在範圍[0，sqrt ）]（如果arcsin的請求角度大於sqrt（1/2）的值，則找到cos（x）。僅適用於x的反正切函數1.arctan（x）= pi/2-arctan（1/x）。