Toeplitz矩陣向量乘法R

Question

我有一個n×n對稱矩陣向量場矩陣T，長度爲n的向量v，我想快速計算矩陣向量乘積T%*%v。 R中是否有可以使用快速傅里葉變換方法計算T%*%v（或其他方法，如果存在的話）？例如，Matlab有Toeplitzmult軟件包。

Answer 1

以下功能正常工作。請注意，ifft()函數需要pracma庫。

toepmult <- function(A,v){ 
    n <- nrow(A) 
    x <- as.matrix(c(A[1,],0,A[1,][n:2])) 
    p <- c(v,rep(0,n)) 
    h <- as.vector(fft(p)*fft(x)) 
    out <- Re(pracma::ifft(h)[1:n]) 
    return(matrix(out,n)) 
} 

對於大小爲1000的向量/矩陣，所述toepmult函數採用的時間A%*%v花費約18％。

A <- toeplitz(runif(1000)) 
v <- runif(1000) 
microb(A%*%v,toepmult(A,v),times=1000) 
#Unit: microseconds 
#   expr  min  lq  mean median  uq  max neval 
#  A %*% v 1515.858 1597.345 1809.3517 1693.533 1957.4350 3868.788 1000 
# toepmult(A, v) 185.901 215.395 331.2928 298.435 347.7335 4611.285 1000 
#[[1]] 
#   [,1]  [,2] 
#median 1693.533 298.435 
#ratio  1.000  0.176 
#diff  0.000 -1395.098 

對於大小爲10,000的向量/矩陣，所述toepmult函數採用的時間A%*%v大約需要2.5％。

A <- toeplitz(runif(10000)) 
v <- runif(10000) 
microb(A%*%v,toepmult(A,v),times=1000) 
#Unit: milliseconds 
#   expr  min   lq  mean  median   uq  max neval 
#  A %*% v 145.834304 160.395663 181.842779 170.396014 186.221449 495.2003 1000 
# toepmult(A, v) 2.802058 4.077408 4.990894 4.322707 4.911103 180.4926 1000 
#[[1]] 
#   [,1]  [,2] 
#median 170.396 4.323 
#ratio 1.000 0.025 
#diff  0.000 -166.073