計算平面上封閉多邊形的面積

Question

我試圖計算位於平面上的多邊形面積（一個集合共麪點形成非相交封閉形狀），並且我知道一個方法那可以計算出area of an irregular (or any) polygon in two dimensions - 但不是三個。我的解決方案是旋轉平面，使其在z方向上正常爲0（因此我可以將它視爲2D），然後運行2D區域函數。

問題是我不知道如何實際確定旋轉軸，並將其平面化爲Z軸。我通過我可以找到的三維旋轉最簡單的方法進行旋轉：Rotation Matrices。所以，鑑於我正在嘗試使用旋轉矩陣來進行旋轉，我如何計算角度來旋轉我的平面，使其與另一個矢量的方向相同？我實際上並不知道很多微積分或歐幾里德幾何，所以無論哪種解決方案都需要我至少教導我自己，這是理想的解決方案。有沒有更好的辦法？

下面是我的嘗試，它甚至沒有接近Z軸上的平面。這是我的「Surface」類的一個實例方法，它是我的「Plane」類的衍生物，並具有形成閉合多邊形的共麪點陣列（IntersectPoints）。

public virtual double GetArea() 
    { 
     Vector zUnit = new Vector(0, 0, 1); //vector perprendicualr to z 
     Vector nUnit = _normal.AsUnitVector(); 
     Surface tempSurface = null; 
     double result = 0; 

     if (nUnit != zUnit && zUnit.Dot(nUnit) != 0) //0 = perprendicular to z 
     { 
      tempSurface = (Surface)Clone(); 
      double xAxisAngle = Vector.GetAxisAngle(nUnit, zUnit, Physics.Formulae.Axes.X); 
      double yAxisAngle = Vector.GetAxisAngle(nUnit, zUnit, Physics.Formulae.Axes.Y); 
      double rotationAngle = Vector.GetAxisAngle(nUnit, zUnit, Physics.Formulae.Axes.Z); 
      tempSurface.Rotate(xAxisAngle, yAxisAngle, rotationAngle); //rotating plane so that it is flat on the Z axis 
     } 
     else 
     { 
      tempSurface = this; 
     } 

     for (int x = 0; x < tempSurface.IntersectPoints.Count; x++) //doing a cross sum of each point 
     { 
      Point curPoint = tempSurface.IntersectPoints[x]; 
      Point nextPoint; 

      if (x == tempSurface.IntersectPoints.Count - 1) 
      { 
       nextPoint = tempSurface.IntersectPoints[0]; 
      } 
      else 
      { 
       nextPoint = tempSurface.IntersectPoints[x + 1]; 
      } 

      double cross1 = curPoint.X * nextPoint.Y; 
      double cross2 = curPoint.Y * nextPoint.X; 
      result += (cross1 - cross2); //add the cross sum of each set of points to the result 
     } 

     return Math.Abs(result/2); //divide cross sum by 2 and take its absolute value to get the area. 
    } 

這裏是我的核心輪換和獲得軸角方法：

private Vector Rotate(double degrees, int axis) 
    { 
     if (degrees <= 0) return this; 
     if (axis < 0 || axis > 2) return this; 

     degrees = degrees * (Math.PI/180); //convert to radians 
     double sin = Math.Sin(degrees); 
     double cos = Math.Cos(degrees); 
     double[][] matrix = new double[3][]; 

     //normalizing really small numbers to actually be zero 
     if (Math.Abs(sin) < 0.00000001) 
     { 
      sin = 0; 
     } 
     if (Math.Abs(cos) < 0.0000001) 
     { 
      cos = 0; 
     } 

     //getting our rotation matrix 
     switch (axis) 
     { 
      case 0: //x axis 
       matrix = new double[][] 
       { 
        new double[] {1, 0, 0}, 
        new double[] {0, cos, sin * -1}, 
        new double[] {0, sin, cos} 
       }; 
       break; 
      case 1: //y axis 
       matrix = new double[][] 
       { 
        new double[] {cos, 0, sin}, 
        new double[] {0, 1, 0}, 
        new double[] {sin * -1, 0, cos} 
       }; 
       break; 
      case 2: //z axis 
       matrix = new double[][] 
       { 
        new double[] {cos, sin * -1, 0}, 
        new double[] {sin, cos, 0}, 
        new double[] {0, 0, 1} 
       }; 
       break; 
      default: 
       return this; 
     } 

     return Physics.Formulae.Matrix.MatrixByVector(this, matrix); 
    } 

public static double GetAxisAngle(Point a, Point b, Axes axis, bool inDegrees = true) 
    { //pretty sure this doesnt actually work 
     double distance = GetDistance(a, b); 
     double difference; 

     switch (axis) 
     { 
      case Axes.X: 
       difference = b.X - a.X; 
       break; 
      case Axes.Y: 
       difference = b.Y - a.Y; 
       break; 
      case Axes.Z : 
       difference = b.Z - a.Z; 
       break; 
      default: 
       difference = 0; 
       break; 
     } 

     double result = Math.Acos(difference/distance); 

     if (inDegrees == true) 
     { 
      return result * 57.2957; //57.2957 degrees = 1 radian 
     } 
     else 
     { 
      return result; 
     } 
    } 

Answer 1

你不需要旋轉平面（或所有點）。只需計算多邊形投影到Z平面的面積（如果它不垂直於多邊形平面），例如，使用GetArea函數，並將結果除以多邊平面的餘弦-Z平面角度 - 它等於標量zUnit和NUnit的產物（我建議NUnit的是法向矢量多邊形平面）

TrueArea = GetArea()/zUnit.Dot(nUnit) 

Answer 2

的魯棒的方式來做到這一點是做每個邊緣的頂點的叉積的總和。如果頂點是共面的，這將產生一個法線，該法線的長度是閉合多邊形面積的2倍。

注意，此方法非常相似，在你的問題，這實際上計算2D相當於3D跨產品，總結所有邊鏈接2D法，然後除以2

Vector normal = points[count-1].cross(points[0]); 
for(int i=1; i<count; ++i) { 
    normal += points[i-1].cross(points[i]); 
} 
double area = normal.length() * 0.5; 

這種方法的優點：

• 如果你的頂點是唯一約平面，它仍然給出了正確的答案
• 它不依賴於的角度平面。
• 事實上，你根本不需要處理角度。
• 如果你想知道飛機的方向，你已經正常了。

一個可能的困難：如果你的多邊形非常小，並且離原點很遠，你可以得到浮點精度問題。如果這種情況下，很可能會出現，你應該首先把所有的頂點，這樣一個在原點，就像這樣：

Vector normal(0,0,0); 
Vector origin = points[count-1]; 
for(int i=1; i<count-1; ++i) { 
    normal += (points[i-1]-origin).cross(points[i]-origin); 
} 
double area = normal.length() * 0.5;