橢圓的協方差矩陣

Question

我一直在試圖解決一個問題。我很驚訝，我一直無法找到網上真正有用的東西。

我知道從橢圓的協方差矩陣的特徵值可以計算出橢圓的主軸和副軸。如下所示：

a1 = 2*sqrt(e1) 
a2 = 2*sqrt(e2) 

其中a1和a2是長軸和短軸，和e1是e2協方差矩陣的特徵值。

我的問題是：給定邊緣點(xi,yi)的圖像橢圓，如何才能找到該橢圓的2×2協方差矩陣？

Answer 1

只是純逆向工程（我不熟悉了用這種材料），我可以這樣做：

%// Generate circle 
R = 189; 
t = linspace(0, 2*pi, 1000).'; 
x = R*cos(t); 
y = R*sin(t); 

%// Find the radius? 
[~,L] = eig(cov([x,y])); 

%// ...hmm, seems off by a factor of sqrt(2) 
2*sqrt(diag(L))   

%// so it would come out right when I'd include a factor of 1/2 in the sqrt(): 
2*sqrt(diag(L)/2)   

那麼，讓我們來測試這一理論對於一般的橢圓：

%// Random radii 
a1 = 1000*rand; 
a2 = 1000*rand; 

%// Random rotation matrix 
R = @(a)[ 
    +cos(a) +sin(a); 
    -sin(a) +cos(a)]; 

%// Generate pionts on the ellipse 
t = linspace(0, 2*pi, 1000).'; 
xy = [a1*cos(t) a2*sin(t);] * R(rand); 

%// Find the deviation from the known radii 
%// (taking care of that the ordering may be different) 
[~,L] = eig(cov(xy)); 
min(abs(1-bsxfun(@rdivide, 2*sqrt(diag(L)/2), [a1 a2; a2 a1])),[],2) 

它總是返回一些可接受的小東西。

所以，似乎工作:)任何人都可以驗證這確實是正確的？

Answer 2

要擴展Rody的答案，實心橢圓的協方差矩陣的特徵值由lambda_i = r_i^2/4給出。這導致OP的方程r_i = 2*sqrt(lambda_i)。

對於（非固體）橢圓形，如在OP的情況下，特徵值是雙那些固體箱子：lambda_i = r_i^2/2，導致r_i = sqrt(2*lambda_i)（其等於羅迪的2*sqrt(lambda_i/2)）。

我無法直接找到這個參考，但協方差矩陣的數學與慣性矩的數學是相同的。 On Wikipedia您可以看到「圓形箍」和「實心圓盤」的情況，它們的相同因子爲2.

下面是Rody測試的一種改編，既可以處理固體也可以處理非固體情況：

% Radius to test with 
r = rand(1,2); 

% Random rotation matrix 
R = @(a)[+cos(a) +sin(a); 
     -sin(a) +cos(a)]; 

% Generate pionts on the ellipse 
N = 1000; 
t = linspace(0, 2*pi, N).'; 
xy = r.*[cos(t),sin(t)] * R(rand); 
% Compute radii, compare to known radii 
L = eig(cov(xy)); 
r_ = sqrt(2*L)'; 
err = max(abs(1 - sort(r_) ./ sort(r))) 

% Generate points in the ellipse (SOLID CASE) 
N = 10000; 
t = 2*pi * rand(N,1); 
xy = r .* sqrt(rand(N,1)) .* [cos(t),sin(t)] * R(rand); 
% Compute radii, compare to known radii 
L = eig(cov(xy)); 
r_ = 2*sqrt(L)'; 
err_solid = max(abs(1 - sort(r_) ./ sort(r))) 

如果你運行這段代碼，你會看到1E-3的錯誤，並〜6E-3（對我產生更多的點，該地區需要進行採樣密集夠多點的實情況;點越多，誤差越小）。