比方說，我在3D空間（a和b）和固定軸/單位向量n中有兩個點。使距離最小化的旋轉矩陣
我想創建最小化點（未旋轉）和旋轉點b之間的歐氏距離的旋轉矩陣。
E.g：
Q := matrix_from_axis_and_angle (n, alpha);
find the unknown alpha that minimizes sqrt(|a - b*Q|)
順便說一句 - 如果一個解決方案/算法可以用單位四元數表示更容易繼續使用它們。我只是用矩陣來形成我的問題，因爲它們被廣泛使用。
哦 - 我知道有一些退化的情況（a或b完全符合這個結果）。這些可以忽略。我只是在尋找可以計算單個解決方案的情況。
聽起來相當容易。假設單位矢量n意味着圍繞一條平行於n點的直線到點x0的旋轉。如果x0！=原點，則用-x0平移座標系，以獲得相對於新座標系原點0的點a'和b'，並使用這2點代替a和b。
1）計算矢量RY = NXA
2）計算單位矢量UY =單位矢量方向RY
3）計算單位矢量UX = UY XN
現在有了的三重相互垂直的單位矢量ux，uy和n，它們形成右手座標系。可以證明：
a = dot(a,n) * n + dot(a,ux) * ux
這是因爲單位向量uy平行於ry，它與a和n都垂直。（來自步驟1）
4）計算沿着單位向量ux，uy的b的分量。 a的分量是（ax，0），其中ax = dot（a，ux）。 b的分量是（bx，by）其中bx = dot（b，ux），by = dot（b，uy）。由於右手座標系，ax總是正的，所以你實際上不需要計算它。
5）計算theta = atan2（by，bx）。
您的旋轉矩陣是相對於圍繞n軸的座標系（ux，uy，n）以角度-θ旋轉的矩陣。
如果a平行於n（步驟1和2）或者b平行於n（步驟4,5），這將產生退化答案。
+1用於識別退化情況！ – unutbu 2009-10-25 18:33:40
我想你可以改寫的問題：什麼是從點到3D空間中的2D圓的距離
。
答案可以發現here
所以所需的步驟如下：
...或東西; ^）
的距離將被最小化當從該載體沿着n行了載體中的線從b到線沿着n。
將a和b投影到垂直於n的平面上，並在2維中解決問題。你到達那裏的旋轉是你需要減小距離的旋轉。
設P是垂直於n的平面。 我們可以找到一個投影成P平面，（並且類似地對於b）：
a' = a - (dot(a,n)) n
b' = b - (dot(b,n)) n
其中點（A，n）是a的點積和n
一個」和b'位於P平面。
我們現在已經將問題簡化爲2個維度。好極了！
a'和b'之間的角度（旋轉角度）等於圍繞n軸擺動b以使其最接近a所需的角度（旋轉角度）。 （想想陰影b會投射在P平面上）。
a '和b' 之間的角度是很容易找到：
dot(a',b') = |a'| * |b'| * cos(theta)
求解有峯。
現在，你可以找到旋轉矩陣給定的THETA和n這裏： http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
賈森小號正確地指出，一旦你知道THETA，你仍必須決定到B順時針或逆時針繞N軸轉動。如果（a x b）與n的方向相同，則數量dot（（a x b），n）將爲正數量，如果（a x b）的方向相反，則數量爲負數量。 （只要a和b都不與n共線，它就從不爲零）。
如果（axb）與n的方向相同，則必須順時針旋轉b圍繞n軸的角度theta 。如果（a x b）位於相反的方向，則必須圍繞n軸順時針旋轉角度θ。
你的θ值在180度內唯一;你需要一些選擇theta或theta + 180degrees的方法。 – 2009-10-25 22:07:05
當使用點積公式求解a'和b'之間的角度時，習慣上取θ在0和pi弧度之間。只要a和b不與n共線，角度theta是唯一的。 – unutbu 2009-10-25 23:40:37
我明白。按照慣例，角度theta = inv_cos（...）是唯一的，正如你所說，通常映射到正範圍[0，pi]。但是解決這個問題所需的旋轉角度是範圍[0,2 * pi）之間的獨特角度。我之前的評論有些不對，您需要選擇+ theta或-theta。其中一個角度將擺動b，以便與矢量a和n共面。另一個角度不會。 – 2009-10-26 00:28:24
假設所有的旋轉都是關於原點，如果你旋轉b，所以它落在向量上，這是不是確保最小（或最大）距離？ – 2009-10-25 14:39:23
或者我們假設n是固定的？ – 2009-10-25 14:42:28
n是固定的......不幸的是我無法改變它。否則，它會非常簡單。 – 2009-10-25 14:55:28