包含X百分比多邊形的質心居中圓的半徑？

Question

我知道如何計算一個多邊形及其面積的質心，由此我可以計算以包含多邊形100％的質心爲中心的圓的半徑：它是從質心到最遠頂點的距離。

我的問題是：你如何找到一個圓的半徑R，其中包含百分之X的圓（其中X％是< 100％）？

這裏有一些例子幾何形狀，我覺得這是很好的測試： L, Square, U and Star Test Geometries

Answer 1

目前的蠻力方法我是：

1）開始一個半徑爲R的一半大小以包圍多邊形

2）的100％近似爲16邊規則十六邊形（面積圓所需要的一個=具有相同半徑的圓）

3）的97％的使用的一個裁剪方法（例如維勒-阿瑟頓）找到兩個多邊形

4）的交點計算相交多邊形（多個）

5）的區域迭代爲半徑R的值，直到交叉處通過的面積除以面積該多邊形在（1.0262 * X％）的E％範圍內，其中E％是可接受的面積誤差，1.0262乘數說明了使用圓形和十六邊形之間的差異。

Answer 2

首先將多邊形分解爲一組三角形，其中一個頂點位於質心，另外兩個形成邊，具有正方向或負方向（取決於邊的方向）。三角形的代數區域的總和等於多邊形的面積。

然後考慮單個三角形與直徑增加的圓的相交區域。首先以係數等於中心角的方式二次生長，直到滿足第一個頂點。然後，該區域變得更慢，更慢，直到達到第二個頂點，並達到整個三角形區域。

通過爲所有三角形添加這些函數，您將構造全局交集區域曲線，該曲線作爲頂點距離的函數分段定義。您將首先確定函數在哪個頂點到達總面積的X％。然後，知道這條曲線的解析表達式，就可以找到確切的半徑值。這是否可以通過分析或數字來完成取決於三角形區域尾部的表達。