Ax = b，b取決於x

我知道如何求解Ax = b，但是如果b依賴於x，該怎麼辦？見圖E3 =功能（E4）。我想這是迭代完成的。這個問題叫什麼？我用什麼方法來解決它？Ax = b，b取決於x

我試圖解決以下系統：

給予下列方程組：

通往下面的矩陣：

更新： 根據要求一些更多的信息：

A = ([ 
[-1, 0, 0, 0, 0], 
[1, -1, -1, 0, 0], 
[0, 1, 0, -1, 0], 
[0, 0, 1, 1, -1], 
[0, 0, 1, 0, 0] 
]) 

b = [-10, 0, 1, 1, 3] 

print(np.linalg.solve(A, b)) 

-> [ 10. 7. 3. 6. 8.]

這工作，但如果：

b = [-10, 0, 1, 1, some_function(x[3])]

所以E3 = some_function（E4），從而E3取決於E4，通過定義'some_function'（非線性）

來源

2016-10-01 Gilbert

您的問題中缺少大量信息（箭頭在流程圖中表示什麼？* f *？）。你能否以numpy數組的形式給出一些示例輸入？它看起來不像線性系統（'Ax = b'）。 –

@ali_m我更新了這個問題，希望它能說清楚 – Gilbert

我猜想它不是一個線性系統，所以叫做什麼。我並不想解決問題，我想了解它是一個什麼樣的問題 – Gilbert

是的，你可以用非線性優化來解決這個問題。 scipy.optimize有有趣的細節都但在這裏，解決您的系統假設some_function(x)是x ** 2一個例子：

import numpy as np 
import scipy.optimize as opt 

A = np.array([ 
    [-1, 0, 0, 0, 0], 
    [1, -1, -1, 0, 0], 
    [0, 1, 0, -1, 0], 
    [0, 0, 1, 1, -1], 
    [0, 0, 1, 0, 0.0] 
    ]) 
b = np.array([-10, 0, 1, 1, 3.0]) # last value is fake 

def objectiveFunction(x): 
    bNew = b.copy() 
    bNew[-1] = x[3] ** 2 # "some_function = lambda x: x**2" 
    error = np.dot(A, x) - bNew 
    return np.dot(error, error) 

solution = opt.minimize(objectiveFunction, np.zeros((5))) 

print(solution)

所有優化技術基本功能minimizations。你給優化

函數以最小化（並需要一個矢量輸入參數，並返回一個標量數）和
哪個輸入向量產生最小標量的初始猜測。

返回輸入到產生最小輸出功能優化。

的objectiveFunction函數以上被最小化，並且將其返回A . x - b之間的誤差，其中x是一個候選解決方案，並且其中b具有取決於x形式。

你可以在當地最低限度捕捉，所以使用優化方法是一種黑色藝術。但是，這種情況似乎非常簡單：上面的代碼打印出以下幾點：

 fun: 1.3591186209050682e-11 
hess_inv: array([[ 0.49698215, 0.08279412, 0.40828859, 0.08067816, 0.47743665], 
     [ 0.08279412, 0.39205925, -0.22445874, -0.02791535, -0.26595691], 
     [ 0.40828859, -0.22445874, 1.01438679, 0.18492456, 1.19990433], 
     [ 0.08067816, -0.02791535, 0.18492456, 0.05283296, 0.23785942], 
     [ 0.47743665, -0.26595691, 1.19990433, 0.23785942, 1.94819504]]) 
     jac: array([ -5.37158676e-06, 4.82585577e-06, 7.97108114e-06, 
     -6.31780565e-06, 4.76041890e-07]) 
    message: 'Optimization terminated successfully.' 
    nfev: 105 
     nit: 13 
    njev: 15 
    status: 0 
    success: True 
     x: array([ 10.00000068, 3.54138098, 6.45862309, 2.54138196, 8.00000528])

這是很多的信息，但最重要的一點是x和fun值：注意如何x是一個載體，fun是標。這意味着objectiveFunction(solution.x) == solution.fun。這又意味着您正在尋找的答案b（給定我的假設some_function）爲solution.x，並且您可以確信這是正確的，因爲solution.fun（A . x和b之間的錯誤）接近於零。

我跳過了一堆解釋，但我可以詳細說明您是否需要。

來源

2016-10-01 15:49:09

謝謝艾哈邁德法西，所以這基本上是一個迭代器的線性系統？ – Gilbert

@Gilbert對不起，我說錯了：是的，它是一個軟件術語和數學術語中的「迭代器」，但將它想象爲迭代「朝向」一些線性化系統是不正確的。它迭代到均方誤差函數的（局部）最小值。那有意義嗎？ –

是的謝謝@Ahmed – Gilbert

如果您的b(x)是x的某種非線性函數，那麼在左邊您有A*x並不重要。表達方程式的最簡單方法是A*x - b(x)=0，換句話說是F(x) = 0，即一般的非線性方程。之前甚至試圖解決這個問題，要注意的一些討厭的後果：

一般情況下，你不能說解決方案的分銷東西。有沒有一個？沒有更詳細的分析就無法說出。也許有一些，或無限多？使用線性方程系統（A*x = b），所有信息都在矩陣中，但對於非線性方程則不然。
由於非線性求解器不能對解決方案的景觀結構假設，沒有求解保證收斂。事實上，所有非深奧的解算器都只是局部的，也就是說，你提供的初始猜測與解決方案「接近」，解算器將會把這個猜測集中到它上面。爲確保融合，在開始之前，您必須對解決方案有一個很好的瞭解。在實踐中，許多人只是隨機猜測，讓本地求解器做了幾個步驟，保持他們的手指交叉。
可以說，最流行的本地求解器是牛頓法;它是實現二次收斂的唯一解算器（如果您已經接近解決方案）。在每一步中，都需要用雅可比矩陣求解線性方程組，即J*d = -F(x)。如果你不仔細做這件事，那麼這本身可能會非常昂貴。

既然你知道這一切，你可以玩scipy optimize。

來源

2016-10-01 19:09:47

我的感謝Nico！這使我指出了正確的方向 – Gilbert

Ax = b，b取決於x

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