python中的左側特徵向量？

Question

如何計算python中的左側特徵向量？

>>> import from numpy as np 
    >>> from scipy.linalg import eig 
    >>> np.set_printoptions(precision=4) 
    >>> T = np.mat("0.2 0.4 0.4;0.8 0.2 0.0;0.8 0.0 0.2") 
    >>> print "T\n", T 
    T 
    [[ 0.2 0.4 0.4] 
    [ 0.8 0.2 0. ] 
    [ 0.8 0. 0.2]] 
    >>> w, vl, vr = eig(T, left=True) 
    >>> vl 
    array([[ 0.8165, 0.8165, 0. ], 
      [ 0.4082, -0.4082, -0.7071], 
      [ 0.4082, -0.4082, 0.7071]]) 

這似乎不正確，谷歌並沒有對此善良！

Answer 1

您的結果對我的理解是正確的。

但是，您可能會誤解它。 numpy docs對左側特徵向量應該更清楚一些。

最後，應強調的是，v由右側（如在 右手側）的一個特徵向量。對於某個數z，滿足點（yT，a）的矢量y稱爲左特徵向量，並且通常矩陣的左右特徵向量不一定是（可能是共軛的）轉置彼此的。

I.e.您需要將vl中的矢量轉置。 vl[:,i].T是第i個左特徵向量。 如果我測試這個，我得到，結果是正確的。

>>> import numpy as np 
>>> from scipy.linalg import eig 
>>> np.set_printoptions(precision=4) 
>>> T = np.mat("0.2 0.4 0.4;0.8 0.2 0.0;0.8 0.0 0.2") 
>>> print "T\n", T 
T 
[[ 0.2 0.4 0.4] 
[ 0.8 0.2 0. ] 
[ 0.8 0. 0.2]] 
>>> w, vl, vr = eig(T, left=True) 
>>> vl 
array([[ 0.8165, 0.8165, 0. ], 
     [ 0.4082, -0.4082, -0.7071], 
     [ 0.4082, -0.4082, 0.7071]]) 
>>> [ np.allclose(np.dot(vl[:,i].T, T), w[i]*vl[:,i].T) for i in range(3) ] 
[True, True, True]