投影變換擬合

Question

給定三維點（X =（x1，x2，x3），Y =（y1，y2，y3））中的點集，我如何擬合從X到Y的變換？

就我所知這叫做投影變換。
這裏是X的例子和Y.

藍色和紅色的線X是平行的，但它們沒有在Y.平行於3D

Answer 1

射影變換具有一個關聯的4×4矩陣（以常數乘法爲模）。你可以找到最小二乘擬合的矩陣。

Answer 2

好吧。我發現了一些有用的信息：

這種變換是非線性的，不可能用矩陣表示非線性變換。有一些技巧，如使用同質座標。但它不會使用矩陣表示所有非線性變換。然而，通過線性函數逼近非線性函數是可能的。

Answer 3

所以，任務是找到最合適的linear transformation，對嗎？

有使用線性迴歸的簡單解決方案。

說出變換矩陣被命名爲A，具有尺寸3×3。並且假設在轉換之前和之後在3D中有N矢量（點） - 所以您的矩陣X和Y爲3行N列。然後轉換爲：

Y = A X + B 

其中B是長度爲3的矢量並指定移位。可以使用指數重寫矩陣乘法：

y[i,j] = sum(k=1..3)(a[i,k] * x[k,j]) + b[i] 

對於i = 1..3並且j = 1 .. N.所以，你有12個未知變量（A，B），和3 * N方程。對於N> = 4，您只需使用線性迴歸即可找到最佳解決方案。

例如，R中這是很容易：

# input data 
X = matrix(c(c(0, 0, 0), c(1, 0, 0), c(0, 1, 0), c(0, 1, 1)), nrow = 3) 
Y = matrix(c(c(1, 0, 1), c(2, 0, 1), c(1, 1, 1), c(1, 1, 2)), nrow = 3) 
# expected transformation: A is identity matrix, b is [1, 0, 1] 
N = dim(Y)[2] 

# transform data for regression 
a1 = rbind(t(X), matrix(rep(0, 3*2*N), ncol = 3)) 
a2 = rbind(matrix(rep(0, 3*N), ncol = 3), t(X), matrix(rep(0, 3*N), ncol = 3)) 
a3 = rbind(matrix(rep(0, 3*2*N), ncol = 3), t(X)) 
b1 = rep(1:0, c(N, 2*N)) 
b2 = rep(c(0, 1, 0), each = N) 
b3 = rep(0:1, c(2*N, N)) 
y = as.vector(t(Y)) 

# do the regression 
summary(lm(y ~ 0 + a1 + a2 + a3 + b1 + b2 + b3)) 

並且輸出是：

[...] 

Coefficients: 
     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) 
a11 1.000e+00   NA  NA  NA 
a12 -2.220e-16   NA  NA  NA 
a13 -3.612e-32   NA  NA  NA 
a21 7.850e-17   NA  NA  NA 
a22 1.000e+00   NA  NA  NA 
a23 -1.743e-32   NA  NA  NA 
a31 0.000e+00   NA  NA  NA 
a32 0.000e+00   NA  NA  NA 
a33 1.000e+00   NA  NA  NA 
b1 1.000e+00   NA  NA  NA 
b2 -7.850e-17   NA  NA  NA 
b3 1.000e+00   NA  NA  NA 

Residual standard error: NaN on 0 degrees of freedom 
Multiple R-squared:  1,  Adjusted R-squared: NaN 
F-statistic: NaN on 12 and 0 DF, p-value: NA 

如預期。