球面諧波展開的數值計算

我想了解球面諧波展開以解決更復雜的問題，但我期望從一個非常簡單的計算得到的結果是不正確的。我不知道爲什麼會發生這種情況。球面諧波展開的數值計算

理論的比特：衆所周知，一個球體（ $\mathbb{R}^{3}$ ）的表面上的功能可以被定義爲一些常係數 $f_{m}^{l}$ 和球面諧波 $Y_{m}^{l}(\Theta,\varphi)$ 無限總和：

$f(\Theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}f_{m}^{l}Y_{m}^{l}(\Theta,\varphi)$

球面諧波被定義爲：

$Y_{m}^{l}(\Theta,\varphi)=\sqrt{\frac{(2l+1)\cdot(l-m)!}{4\pi\cdot(l+m)!}}P_{m}^{l}(cos\Theta)e^{im\varphi}$

其中 $P_{m}^{l}$ 是關聯勒讓德多項式。

的最後，常係數可以計算 $f_{m}^{l}$ （傅立葉類似變換）如下：

$f_{m}^{l}=\oint_{\Omega}^{}f(\Theta,\varphi)Y_{m}^{l}(\Theta,\varphi)d\Omega$

問題：假設我們有一個球在 $(0,0,0)$ 中心對於所有點 $(\Theta,\varphi)$ ，表面上的功能等於 $1$ 。我們想計算常係數，然後通過近似計算回表面函數。由於 $f(\Theta,\varphi)=1$ 恆定係數的計算簡化爲：

def Ylm(l,m,theta,phi): 
    return scipy.special.sph_harm(m,l,theta,phi) 

def flm(l,m): 
    phi, theta = np.mgrid[0:pi:101j, 0:2*pi:101j] 
    return Ylm(l,m,theta,phi).sum()

然後經 $l$ I」，通過計算限帶總和：

$f_{m}^{l}=\sum_{\Omega}Y_{m}^{l}(\Theta,\varphi)$

該數值（在Python）可使用近似m期待看到 $f'(\Theta,\varphi)\rightarrow1$ 當 $l\rightarrow\infty$ 任何給定的點 $(\Theta,\varphi)$ 。

$f'(\Theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{L}\sum_{m=-l}^{l}f_{m}^{l}Y_{m}^{l}(\Theta,\varphi)$

L = 20 
f = 0 
theta0, phi0 = 0.0, 0.0 
for l in xrange(0,L+1): 
    for m in xrange(-l,l+1): 
     f += flm(l,m)*Ylm(l,m,theta0,phi0) 
print f

但 $L=20$ 它給了我 $(12860.5407362+0j)$ 而不是 $\sim(1+0j)$ 。對於 $L=40$ 它給我 $(28156.0642429+0j)$

我知道它似乎更多的數學問題，但公式應該是正確的。這個問題似乎在我的計算上。這可能是一個非常愚蠢的錯誤，但我無法發現它。任何建議？

感謝

來源

2016-08-31 lcit

我用你的理論部分同意calulate係數，但是你陳述問題奇蹟般地使用一個和而不是f^l_m的積分。你確定你不想把總和的每個元素與元素的大小相乘嗎？否則，積分將取決於您用於離散化的元素數量。 – mars

也許我錯了，但就我的理解而言，連續空間中的積分減少到離散空間中的總和（如離散傅里葉變換）。有效的縮放因子可能是解決方案，但我不知道如何檢索此值。我爲L = 20做的總數是441.根據我得到的結果，該值應該在1/12860左右。 – lcit

你是對的，你可以使用一筆金額而不是一個積分，也許我不明白你在做什麼。我的觀點是，當你將積分轉換爲總和時，你不能用沒有用某種形式的delta Omega_ij代替d歐米茄。在你的情況下，你的總和的每個元素是一個高度爲Y^l_m（...）的kuboid和一個基礎面積爲（pi/100）*（pi/2/100），所以dOmega大約是1/2000，是由2 pi的因素。正如dmuir寫道的，我認爲使用sin（theta）與球座標整合會照顧到這一點。 – mars

球面諧波正交與內積

<f|g> = Integral(f(theta,phi)*g(theta,phi)*sin(theta)*dphi*dtheta)

所以你應該

clm = Integral(Ylm(theta, phi) * sin(theta)*dphi*dtheta)

來源

2016-08-31 13:02:04 dmuir

所以我應該能夠使用像下面這樣的總和來計算係數f：'flm = Sum（Ylm（theta，phi）* sin（theta））'這可以轉換成Python代碼，如： 'def flm（l， m）： phi，theta = np.mgrid [0：np.pi：101j，0：2 * np.pi：101j] return np.multiply（Ylm（1，m，theta，phi），np.sin （theta））。sum（） ' ？ – lcit

對不起，我不知道python，但我認爲你需要規範化。如果你'積分'常數1，你應該得到4 * pi（球體的面積），所以歸一化常數是4 * pi /無論你得到什麼 – dmuir

球面諧波展開的數值計算

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