離散微分方程並在每個時間步中找到參數的值

Question

我想通過在t上使用for循環來找到f(t)的值。管理f的公式爲：

df/dt = cos(f) g(x,y,t) 

x和y在二維座標是。我寫了下面的代碼：

dt=1; a=2; 
f(1,1)= a*rand(1,1); 
for t = 2:100 
    f(1,t)= cos(f(1,t-1)) g(x,y,t) dt; 
end 

但我不確定此方法是否正確，或者如果可以寫得更好。任何人都可以幫助我知道它是否正確？

Answer 1

你基本上試圖實現一個單位步長爲($h = 1$)的歐拉方法。推薦$f$ are $f_{n+1} = f_{n} + h cos(f_{n}) g(x,y,t_{n})$的公式。這裏$t_n = t_0 + n h$。因此，您的循環代碼需要更改爲：

f(1,t) = f(1,t-1) + cos(f(1,t-1)) g(x,y,t-1) dt 

此方法適用於此係統嗎？坦率地說，這不太可能。歐拉方法傾向於在平滑的功能下工作得最好，這種功能相對於步長而言變化不大。考慮到$ cos $函數的快速變化，尤勒方法很可能在大步長失敗。

系統如何解決？有幾件事你可以做。

1. 使用較小的步長（它應該非常小）。
2. 使用另一種解決方法，如龍格庫塔。
3. 求解析解。

如果我是你，我會做分析路線。祝你好運