Matlab：找到由微分方程給出的y值的根

Question

我已經求解了初始值微分方程並繪製了由ODE45給出的Y值。從陰謀我可以隱約地告訴根本應該在哪裏，但在給定的任務，我需要非常準確地找到它。

我的第一個猜測是將一個多項式調整爲我的X和Y值，然後求解多項式方程。但是我使用了polyfit，並有69個知道的值給我一個我無法解決的68級多項式。那麼，有沒有人知道如何在不知道實際方程的情況下找到一組給定Y值的「根」？它寫在任務中，應該使用插值！

在此先感謝！

Answer 1

給定一個Y值向量（從相應的X值穩步增加的意義上來說是有序的），可以很容易地發現根在哪個X值附近。根可以是Y值爲零的地方，也可以是改變符號的兩個連續的Y值之間。的想法是在此代碼段中所示：

X = -1:0.1:1; 
Y = X.*X - 0.4; 

root_exact_pos = find(Y==0); 
root_approx_pos = find(diff(sign(Y))~=0); 

根是在X值，無論是在X(root_exact_pos(k))，或X(root_approx_pos(k))和X(root_approx_pos(k)+1)之間，k從1將各自的根位置陣列的元件的數量。

從這裏開始，你可以應用任何插值你想找到一個更好的根的近似值（我會用線性的，在2點之間）。

Answer 2

你說你需要找到根「非常準確」。上面的@ CST-Link的答案並不是如何做到這一點，如果你用ODE45數值求解微分方程。實際上這是一個壞主意。它需要以高分辨率輸出解決方案點，並引入誤差，如果方程的積分保守（即，您將有效地從能量應始終保持不變的解決方案中增加或減少能量），這可能尤其不利。您需要使用Matlab的ODE求解器的事件檢測（過零點）功能。這通常能夠以接近機器epsilon的精確度找到您的根，eps。雖然@ CST-Link給出的技術只能給出ODE45的步長大小的準確性，這可能會非常大（插值可以用來幫助改善這一點，但除非您接近eps，否則不會接近eps你使用微小的步長）。

看着Matlab的幫助ODE45，這些事件的功能似乎混亂，所以我會嘗試使用基於ballode（help ballode和edit ballode更多信息）的代碼給一個簡單的例子，一個例子Matlab的還包含了事件。

function eventsdemo 

options = odeset('Events',@efun); % specify name of events function 
[t,y,te,ye,ie] = ode45(@f,[0 10],[0;20],options); % integrate 
figure 
plot(t,y(:,1),'b',te,ye(:,1),'r.') 

function dydt = f(t,y) 
dydt = [y(2);-9.8]; % differential equation for ballistic motion 

function [value,isterminal,direction] = efun(t,y) 
value = y(1); 
isterminal = 1; 
direction = -1; 

的例子是在垂直方向上的球的只是簡單的彈道運動：函數f。目標是準確地檢測球在穿過地平面時的速度，即負向的y(1) == 0線。如果你太快檢測到接觸，球的速度將低於現實，能量將會消失;太晚了，能量會被注入。 efun的value輸出定義了必須等於交叉點的零的方程。這可以根據需要簡單或複雜，可以取決於所有狀態變量和時間，並且可以通過指定矢量來檢測多個交叉點。就你而言，這聽起來像你對x軸的根感興趣，所以我想象你可能有一個相同的定義value。如果您只需要第一個根目錄或者只有一個根目錄，那麼isterminal將在找到時停止集成。最後，如果你不知道你的函數在根上的斜率/斜率，你可以設置direction爲零。嘗試與上面的代碼此事件功能（ie可以用來判斷哪些三個事件在te和ye輸出觸發）：

function [value,isterminal,direction] = efun(t,y) 
value = [y(2) y(1)-10 y(1)]; 
isterminal = [0 0 1]; 
direction = [-1 0 -1]; 

一些小的警告。您需要將最終積分時間設置爲足夠長。換句話說，該事件必須發生在t0和tf之間（如果您不知道事件發生的時間，請參見ballode，以便將呼叫迭代到ODE45）。如果您將isterminal設置爲零，則輸出t矢量和y矩陣將被修剪到終端事件發生時結束。最後，如果您指定固定的步長輸出，例如TSPAN = t0:dt:tf，則最後的輸出點可能具有更小的步長。