IEEE 754浮點，最大數目<1是多少？

Question

當使用IEEE 754浮點表示（double類型在C++），即非常接近號碼（表示的）整數被四捨五入爲與其最接近的整數和準確表示。真的嗎？
在四捨五入前，數字必須與最接近的可表示整數有多接近？
這個距離是不變的？
例如，假設1可以精確表示，最大的double小於1是多少？

Answer 1

當使用IEEE 754浮點表示（double類型在 C++），即非常接近號碼（表示的）整數 四捨五入爲與其最接近的整數和準確表示。

這取決於數字是否接近整數而不是其他值可表示。 0.99999999999999994 is not equal to 1, but 0.99999999999999995 is.

這個距離是不變的？

不，它變得越來越小 - 特別是在表示中指數更大時。較大的指數意味着尾數涵蓋的間隔較大，這意味着總體精度較低。

例如，什麼是最大的雙小於1？

std::nexttoward(1.0, 0.0)。例如。 0.999999999999999889 on Coliru。

Answer 2

你會發現關於從1.0 相反方向1.0和一個較大數字之間的差別在這裏是更明確的說明：

std::numeric_limits<double>::epsilon()

的方式浮點工程，下一個較小的數應該與下一個更大的數字相距1.0的一半。

Answer 3

第一個低於1的IEEE雙精度值可以毫不含糊地寫爲0.99999999999999989，但確切地說是0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875。

距離是而不是不變，它取決於數字的指數（因而數量級）。最終差距變得大於1，這意味着即使（不是奇數 - 奇數的整數是第一個被舍入的）相反，整數會變得有些圓整（或者最終很多）。

Answer 4

當使用IEEE 754浮點表示法（C++中的double類型）時，非常接近精確整數的數字將四捨五入到最接近的整數並精確表示。真的嗎？

這是錯誤的。

在四捨五入前，數字到最近的整數究竟有多近？

當你做一個二進制字符串轉換浮點數被四捨五入到當前精度（爲printf家庭的默認精度爲6個功能）使用當前的舍入模式。

Answer 5

增加IEEE浮點數的二進制表示可以被看作是一個遞增的整數表示：

樣品哈克（英特爾）：

#include <cstdint> 
#include <iostream> 
#include <limits> 

int main() { 
    double one = 1; 
    std::uint64_t one_representation = *reinterpret_cast<std::uint64_t*>(&one); 
    std::uint64_t lesser_representation = one_representation - 1; 
    std::cout.precision(std::numeric_limits<double>::digits10 + 1); 
    std::cout << std::hex; 
    std::cout << *reinterpret_cast<double*>(&lesser_representation) 
       << " [" << lesser_representation 
       << "] < " << *reinterpret_cast<double*>(&one_representation) 
       << " [" << one_representation 
       << "]\n"; 
} 

輸出：

0.9999999999999999 [3fefffffffffffff] < 1 [3ff0000000000000] 

前進當如果指數位發生變化，則連續浮點數的差值將增加。

另請參閱：http://randomascii.wordpress.com/2012/02/25/comparing-floating-point-numbers-2012-edition/