使用ode45解決延遲微分方程Matlab

Question

我想在Matlab中使用ode45解決DDE問題。我的問題是關於我解決這個問題的方式。我不知道我是對的還是我錯了，我應該使用dde23。 我有一個公式如下：

xdot(t)=Ax+BU(t-td)+E(t) & U(t-td)=Kx(t-td) & K=constant 

正常情況下，我不知道，我解決了這個利用ODE45對我的方程延遲。現在拖延我的等式，我再次使用ode45來獲得結果。我在每一步都有U（t-td）的確切數量，並且我取代它的數量並求解方程。

我的解決方案是否正確或應該使用dde23？

Answer 1

您這裏有兩個問題：

1. ode45是具有自適應步長求解器。這意味着您的採樣步驟不一定等同於實際的集成步驟。相反，積分器根據需要將採樣步驟分成幾個積分步驟，以達到所需的精度（有關更多信息，請參見Scientific Computing的this question）。 因此，即使您認爲這樣做，您也可能無法在集成的每個步驟中提供U的正確延遲值。但是，如果您的採樣步驟足夠小，則每個採樣步驟確實會有一個時間步長。原因在於，通過使時間步長小於所需時間（從而浪費計算時間），可以有效地禁用自適應集成。

2. 高階Runge-Kutta方法如ode45不僅可以在每個積分步驟中使用導數的值，還可以在中間進行評估（並且不會，它們無法爲此提供可用解決方案在時間間隔之間）。

   例如，假設您的延遲和積分步驟爲td = 16。爲了使積分步驟從t = 32到t = 48，不僅需要在t = 32-16 = 16和t = 48-16 = 32時，而且在t = 40-16 = 24時評估U。 ，你可能會說：好吧，讓我們整合，這樣我們就可以在所有這些時間點上進行整合。但是對於這些集成步驟，您再次需要中間步驟，例如，如果要從t = 16到t = 24進行積分，則需要在t = 0，t = 4和t = 8時評估U。你會得到一個永無止境的越來越小的時間步驟級聯。

由於問題2，就不可能從過去的任何一個，但一個步驟集成提供確切的狀態 - 用這可能不是你的情況是個好主意。因此，如果要將DDE與多步積分器集成，則不可避免地需要使用某種內插來獲取過去的值。 dde23使用良好的插值以複雜的方式完成此操作。

如果您僅在積分步驟中提供U，則實質上是執行piecewise-constant interpolation，這是可能出現的最差插值，因此需要使用非常小的積分步驟。雖然你可以做到這一點，但如果你真的想要的話，dde23其更復雜的分段立方Hermite插值可以使用更大的時間步長和自適應集成，因此會更快。另外，你不太可能犯了一個錯誤。最後，如果你遇到這種情況，dde23可以處理非常小的延遲（小於積分步驟）。