證明5^n = o（n！）

Question

請幫我提供一個方向來說明如何證明這一點。我可以通過隨機發現n的值來證明n！大於5^n。但有人可以幫助我用數學證明。

Answer 1

使用感應。

如果5^n < n!和5 <= n+1，則5^(n+1) == 5 * 5^n < (n+1) * n! == (n+1)!。

Answer 2

5^n = o(n!) <=> if n close to ∞ limit 5^n/n! close to 0 

證明：

set An = 5^n/n!, when n > 10, An = 5^n/n! < 1/(n-5)! 
for An > 0 and limit 1/(n-5)! close to 0, then 0 <= limit An <= limit 1/(n-5)! <= 0 
so limit 5^n/n! close to 0, and 5^n = o(n!)