將多項式擬合到函數的最大值

我想將多項式擬合到有噪數據，以使近似多項式始終> =原始數據。例如：將多項式擬合到函數的最大值

x = linspace (-2, 6); 
y = (x-2).^2 + 1 + 2 * randn (size (x)); 

function ret = delta (P, x, y) 
    yP = polyval (P, x); 
    d = yP - y; 
    d (d < 0) *= 1000; 
    ret = sumsq (d); 
endfunction 

P0 = polyfit (x, y, 2); 
f = @(P) delta (P, x, y); 
[P, FVAL] = sqp (P0, f) 

xi = linspace (min(x), max(x), 100); 
yi = polyval (P, xi); 

plot(x, y, xi, yi); 
grid on

有沒有更好的辦法/方法，它也可以與高階多項式？

的easies的方法是隻使用polyfit，然後計算max(y-yi)並添加爲抵消但這不是最佳...

編輯：我想用GNU八度，但補充說：「MATLAB」爲標籤，因爲語言和功能是相似的。

編輯：基於TVO的答案和真實的數據：

x = [10 20 30 40 50 60 80 100]; 
y = [0.2372, 0.1312, 0.0936, 0.0805, 0.0614, 0.0512, 0.0554, 0.1407]; 

function ret = delta (P, x, y) 
    ret = sumsq (polyval (P, x) - y); 
endfunction 

f = @(P) delta (P, x, y); 
h = @(P) polyval(P, x) - y; 

P0 = polyfit (x, y, 3); 
[P] = sqp (P0, f, [], h) 

xi = linspace (min(x), max(x)); 
yi = polyval (P0, xi); 
yio = polyval (P, xi); 

plot(x, y, xi, yi, ";initial guess;", xi, yio, ";optimized;"); 
grid on

但你可以看到，優化和評估聚了點<這是不允許的原單點。

來源

2016-04-18 Andy

您是否嘗試過適合所有數據點的行，然後查找錯誤率最高的行？ – Crowley

我猜你正在尋找的是fmincon：最小化規範（如2範數）與（線性）FUN約束（配製成的願望多項式的大小的矩陣A *點的數量）和你的觀察值作爲乙從MATLAB幫助： X = fmincon（FUN，X0，A，B）開始於X0和發現的最小X到函數FUN，受線性不等式A * X <= B. FUN接受輸入X並返回在X處評估的標量函數值F.X0可以是標量，向量或矩陣的。 –

@AlexanderKemp：看起來很有前途，但我想使用GNU Octave，而fmincon顯然還沒有實現。 – Andy

你的方法似乎罰款，我認爲沒有理由不能實際使用的高階多項式。請解釋爲什麼如果你認爲它不能使用。

您正在使用Octave的'sqp'解算器。文檔是在這裏：http://www.gnu.org/software/octave/doc/v4.0.1/Nonlinear-Programming.html

你可能想避免（在你的榜樣1000）的錯誤用任意數目乘以爲負時。這對於不同的數據集可能會失敗，特別是如果它們較大，即更多的數據點。

你可以嘗試使用非線性不等式約束選項，八度的「小數量議定書」的優惠，即H（X）> = 0（見文檔）。

作爲目標函數披可以使用模的平方誤差，作爲在你的例子，並添加形式H（X）> = 0的約束每一個數據點。請注意，'x'是您想要擬合的多項式係數，h（x）是在特定數據點處評估的多項式。

例如：

phi = @(P) delta_mod (P, x, y); % mod: Don't increase the importance of negative residuals!! 
h = @(P) polyval(P, x1) - y1; 

Psol = sqp(P0, phi, [], h);

注意，約束函數的「h」確保了多項式將位於上述（X1，Y1），並且目標函數「披」將試圖保持它儘可能接近可能。您可以擴展'h'來爲集合中的每個數據點包含一個約束（請參閱doc）。

來源

2016-04-18 18:21:52 tvo

我已經更新了我的答案並添加了建議更改的結果，但結果多項式的點數<原始數據（請參閱我的問題中的圖）。任何提示？ – Andy

喜安迪，藍線包含原始數據，對不對？也許將它們繪製成單獨的標記（點或十字）以避免數據和擬合之間的混淆。關於這個問題，我認爲設置是正確的。現在，初始猜測'P0'也位於一些數據點之下。最終結果確實做得更好，但還不夠好。我假設算法聲明過早收斂。看看'sqp'的文檔（我的答案中的鏈接），並用'maxiter'和'tol'來玩，看看是否有效果。查看輸出中的'info'，看看爲什麼'sqp'結束。 – tvo

將多項式擬合到函數的最大值

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