弧相切於結束點的圓弧，以及線

Question

我有：

弧：由P1X定義，P1Y - P2X，P2Y，半徑，中心，初始 - 最終昂。

線：由ax，ay - bx，by定義。

正如你可以在圖像中看到的，我想要找出一條弧線和直線的反正切，並通過第一弧線的終點。

我認爲有一個獨特的解決方案。 （或者兩個，R +和R - ）

我想這樣看如何實現的算法，無果......

任何想法，將不勝感激......

Answer 1

你要做的是找到一個無限長線「L」的圓切線，並與該圓上特定點處的圓相切。關鍵的觀察結果是，自從tangent vector to any circle at a given angle is perpendicular to the radius vector for that angle以來，我們需要找到的是「TC」（「切線中心」）點和距離d的距離「d」，在距離d處給定線偏移距離d與正常向外拉從圓爲相同距離（原諒我的壞技術）：

求解「d」是最簡單的方法如下：

1. 構建標準化法向矢量「R 「在點」P「通過PC並正常化。 （這構成了圓的外切線，如果你想要一個內切線，你可以翻轉）。

2. 構造歸一化的垂直向量「N」到線「L」。我並不確定你的變量「ax，ay - bx，by」是什麼意思，所以讓我們用一個起點「A =（ax，ay）」和一個方向矢量「DA =（dax，day） 」。在這種情況下，正常情況是+/- (-day, dax)/sqrt(day*day+dax*dax)。 （歸一化互與3D中的（0,0,1）向量。）

3. 選擇的「N」的符號，以使其指向遠離從P，即如果（PA）的點積和N是正數，如果點積（幾乎）爲零，則翻轉N，那麼正切圓的半徑（幾乎）爲零，所以沒有定義。

4. 現在考慮對於某些d由P2 = P + d *（R + N）定義的點TC。如果P2位於線L上，那麼d就是我們尋找的切線圓的半徑！當且僅當（P2 - A）和N的點積爲零時，P2位於線上。這在一個變量中定義了一個線性方程 - d - 所以你可以解決它。請注意，如果R + N的長度（幾乎）爲零，則P距離圓和線之間的最近點180度;您需要明確檢查並處理。

5. 一旦你有d，你可以得到圓圈的中心TC = P + d * R。

當P處的圓的切線平行或接近平行於線時，該方法應具有良好的數值穩定性。

你沒有指定一種語言，但希望這可以讓你開始。我的主要語言是c＃。