將一個點轉換爲另一個點的算法

Question

給出以(a,b)和(c,d)的形式輸入的四個整數。

確定是否有可能從(a,b)獲得(c,d)如果在每一個步驟就可以操作(a+b,b)或(a,a+b)之間進行選擇。

因此，例如，(1,2) -> (3,2) -> (5,2) -> (5,7) -> (12,7) -> (12,19) -> ...

我試圖解決與A + B X = C和 X + B = d的東西，但沒有奏效。有任何想法嗎？

Answer 1

可達點的模式看起來不簡單。你可以看到它是一個有理性斜坡的斜線網絡，從可達點開始。

這裏是(1, 2)的模式。這些字母對應於連續的「世代」。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. A . B . C . D . E . F . G . H . I . J . K . L . M 
. B . . C . . D . . E . . F . . G . . H . . I . . J 
. C . . . D . . . E . . . F . . . G . . . H . . . I 
. D . C . . E . D . . F . E . . G . F . . H . G . . 
. E . . . . . F . . . . . G . . . . . H . . . . . I 
. F . . D D . . G . . E E . . H . . F F . . I . . G 
. G . D . . . . . H . E . . . . . I . F . . . . . J 
. H . . . E . E . . I . . . F . F . . J . . . G . G 
. I . . . . . E . . . J . . . . . F . . . K . . . . 
. J . E E . F . . F . . K . F F . G . . G . . L . G 
. K . . . E . . . . . . . L . . . F . . . . . . . M 
. L . . . . . G E F F G . . M . . . . . H F G G H . 
. M . F . F . . . . . . . . . N . G . G . . . . . . 
. N . . F . . . H . . . . H . . O . . G . . . I . . 
. O . . . . . F . . . G . G . . . P . . . . . G . . 
. P . G . F G F . I . . . G . I . . Q . H . G H G . 
. Q . . . . . . . . . F . F . . . . . R . . . . . . 
. R . . G G . . . . J F F H . . H J . . S . . H H . 
. S . H . . . H . G . . . . . . . . . . . T . I . . 
. T . . . . . . F . . K . . . . H H . K . . U . . . 
. U . . . G . . . G . . . . . I . . . I . . . V . . 
. V . I H . H G I . G . L . G . . . G . . L . . W . 
. W . . . H . G . . . H . . . . . . . . . . . . . X 
. X . . . . . . . . . . . M G . G J G I . I J M . . 

由於這種不看第一眼數學聽話，一個算法的解決方案可以通過從(c, d)回溯找到。

(a, b)= (1, 2) 

def Backtrack(c, d): 
    if c == a and d == b: 
     print "Reachable !" 
     return 

    if d > 0 and c >= d: 
     Backtrack(c - d, d) 
    if c > 0 and d >= c: 
     Backtrack(c, d - c) 

Backtrack(9, 8) 

Reachable ! 

除非c == d，這會導致快速終止，最多是採取了遞歸調用的一個，從而使電話的數量不會成倍增長。

Answer 2

也許有一個優雅的數學解決方案，我不知道一個方程，但對我來說這看起來像一個搜索問題。我們有一個起點（a，b）和一個終點（c，d），在搜索的每一點我們可以做兩個動作：或者轉到狀態（a + b，b）或者（a，a + b）。一個簡單的遞歸深度優先搜索可以做到。這裏唯一棘手的問題是確定何時停止搜索。

我們首先解決這個問題，當所有整數都是正數時。該限制條件，在這之後，我們不能希望找到一個解決方案是在這種情況下清楚：當超過C或B超過d，我們不能希望找到這個分支樹的液下：

bool pathExistsForPositive(int a, int b, int c, int d) { 
    if (a == c && b == d) return true; // success condition 
    if (a > c || b > d) return false; // limiting condition 
    return pathExistsForPositive(a+b, b, c, d) 
     || pathExistsForPositive(a, a+b, c, d); 
} 

現在，將這種情況概括爲數字不是正數的情況會更棘手，但是可行。我希望這種直覺有​​所幫助。試着想想在什麼時候你不得不停止搜索。

Answer 3

你可以循環來找出所有可能的解決方案

var sols = [[3,2]]; 

var sols2 = []; 

for(depth=1;depth<5;++depth) { 
    for(j=0;j<sols.length;++j) { 
     var sol = sols[j]; 
     var sol1 = [sol[0]+sol[1],sol[1]]; 
     var sol2 = [sol[0],sol[0]+sol[1]]; 
     sols2.push(sol1,sol2); 
     console.log(sol1); 
     console.log(sol2); 
    } 
    sols = sols2; 
    sols2 = []; 
    console.log(); 
} 

這只是找到每一個可能的解決方案。你可以改進代碼來過濾掉所有失敗的代碼。

快速gcd檢查將消除任何無法正常工作的輸入。