三維產品在二維構造垂直線

Question

我一直在關注這個tutorial碰撞檢測，其中它使用二維三重產品來構建垂直線。使用向量甲從Ç到Ç和矢量乙從Ç轉到原點不用。聲稱是A，B，A的三重產品與原產地的方向垂直於A。我不明白爲什麼這會起作用，或者如何在2D中使用交叉產品。

Answer 1

我看過the implementation，我絕對不會說那是triple product。通常的三重產品使用交叉產品，然後使用點積，而這裏是連續的兩個交叉產品，通過向2d向量附加零構造3d向量。那麼會發生什麼？ （Ax，Ay，0）×（Bx，By，0）=（0,0，Ax∙By-Ay∙Bx）
...×A =（Ax∙By-Ay∙ Bx）∙（Ay，-Ax，0）

所以結果是（Ay，-Ax）的某個倍數。這確保了這確實與A垂直。並且如果A和B是平行的，那麼多個改變準確地標記。因此，對於A和B不平行，一個方向將給出一個方向，而另一個方向將給出另一個方向。如果你不想更深入地思考，用一個實驗來決定哪個是哪個。

作爲一個便箋，我不會這樣做。相反，我會依靠經典的方向謂詞。但是我沒有讀過那篇文章，所以也許有一個理由不這樣做。如果你希望瞭解更多，觀察到行列式

|Ax Bx Cx| 
|Ay By Cy| 
| 1 1 1| 

（其中的方式等於三重積（A×B）∙C如果爲1而不是0增大）等於兩次由A，B，C形成的三角形的面積爲。所以標誌告訴你所述三角形的方向。你可以用這個例如計算符號OAB，OBC，OCA。如果他們都同意原產地被包含。請注意，行列式| OAB | = Ax∙By-Ay∙Bx是非常容易計算的。

var oab = Math.sign(a.x*b.y - a.y*b.x); 
var obc = Math.sign(b.x*c.y - b.y*c.x); 
var oca = Math.sign(c.x*a.y - c.y*a.x); 
if (Math.abs(oab + obc + oca) == 3) { 
    return "contains origin"; 
} 
if (oab * obc * oca == 0) { 
    return "origin is on the boundary"; 
} 
var abc = Math.sign(a.x*b.y + b.x*c.y + c.x*a.y - 
        a.x*c.y - b.x*a.y - c.x*b.y); 
if (oab != abc) { 
    return "outside line ab"; 
} else if (obc != abc) { 
    return "outside line bc"; 
} else { 
    return "outside line ac"; 
}