當x趨於無窮大時，其中f（x）使g（f（x））的階數最小化

Question

假設f（x）趨於無窮大，因爲x趨於無窮大且a，b> 0。發現產生最低爲了

爲x趨於無窮大的F（X）。 By order我的意思是Big O和Little o表示法。

我只能解決它大致是：

我的解決辦法：我們可以說LN（1和+ F（X））約等於LN（F（X））爲x趨向無窮大。然後，我有當y = SQRT（C）中，b + LN˚F由於用於任何C> 0，Y + C/y被miminized以最小化的

的順序（X）} = SQRT （斧頭）是水管。等價地，f（x）= e ^（sqrt（ax）-b），g（x）的最低階是2 sqrt（ax）。

你能幫我獲得一個嚴格的答案嗎？

Answer 1

的嚴格的方式，以儘量減少（我應該說extremize）另一個函數的功能是使用歐拉 - 拉格朗日關係：

這樣：

泰勒擴展：

如果我們只考慮上升到 「常量」 條款：

這當然是你所得到的結果。

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接下來，線性方面：

我們不能分析解決這個方程;但是我們可以在功能f(x)中探索擾動的影響（即參數與先前解決方案的小改變）。我們可以明顯地忽略任何線性變化f，但我們可以添加一個積極的乘數因子A：

sqrt(ax)和Af顯然是正的，所以RHS有一個負號。這意味着ln(A) < 0，因此A < 1，即新的擾動函數給出（稍微）更緊的界限。由於RHS必須非常小（1/f），所以A一定不能小於1。

進一步說，我們可以添加其他擾動B到f指數：

由於ln(A)和RHS都消失較小，B -term上LHS必須爲更小簽署是一致的。

因此，我們可以得出結論：（1）A是非常接近1，（2）B小於1 多，即你所得到的結果，其實是一個很好的上限。

上面還會導致更高的f更高的功率的更高的邊界的可能性。