兩架飛機之間的交線

Question

如何找到兩架飛機之間的交線？

我知道數學的想法，我做了法向量

但飛機之間的交叉產品如何從所得到的向量的行編程

Answer 1

添加此答案的完整性，因爲在撰寫本文時，這裏沒有答案包含直接解決問題的工作代碼示例。

雖然其他答案在這裏already covered the principles。

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查找兩個平面之間的線路可以使用3平面的交點算法的簡化版本來計算。

2'nd，「更健壯的方法」從bobobobo's答案引用3平面交叉口。

雖然這可以很好地用於2個平面（其中第三平面可以使用的前兩個叉積來計算），可以進一步降低對於2平面版本的問題。

• 無需使用3×3矩陣行列式，
  代替我們可以使用叉積的平方長度，第一和第二平面之間（其是3'rd平面的方向）。
• 無需包含第三架飛機的距離，
  （計算最終位置）。
• 不需要否定距離。
  通過交換交叉產品訂單來保存一些cpu-cycles。

包括此代碼示例，因爲它可能不會立即顯而易見。

// Intersection of 2-planes: a variation based on the 3-plane version. 
// see: Graphics Gems 1 pg 305 
// 
// Note that the 'normal' components of the planes need not be unit length 
bool isect_plane_plane_to_normal_ray(
     const Plane& p1, const Plane& p2, 
     // output args 
     Vector3f& r_point, Vector3f& r_normal) 
{ 
    // logically the 3rd plane, but we only use the normal component. 
    const Vector3f p3_normal = p1.normal.cross(p2.normal); 
    const float det = p3_normal.length_squared(); 

    // If the determinant is 0, that means parallel planes, no intersection. 
    // note: you may want to check against an epsilon value here. 
    if (det != 0.0) { 
     // calculate the final (point, normal) 
     r_point = ((p3_normal.cross(p2.normal) * p1.d) + 
        (p1.normal.cross(p3_normal) * p2.d))/det; 
     r_normal = p3_normal; 
     return true; 
    } 
    else { 
     return false; 
    } 
} 

Answer 2

線的交叉產品是方向的交叉線。現在你需要在十字路口的一個點。

您可以通過在叉積上取一個點，然後減去平面A *的法向距離平面A的距離和平面B的法向距離平面b的距離。清潔器：

P =點上交叉乘積

交點=（[P] - （[正常平面A] * [從p到平面的距離） - （[正常平面B的] * [從p到平面B的距離））

編輯：

您有兩個平面與兩條法線：

N1 and N2 

叉積是相貫線的方向：

C = N1 x N2 

上面的類有一個函數來計算點和平面之間的距離。用它來獲得到兩個平面第C一些點p的距離：

p = C //p = 1 times C to get a point on C 
d1 = plane1.getDistance(p) 
d2 = plane2.getDistance(p) 

交線：

resultPoint1 = (p - (d1 * N1) - (d2 * N2)) 
resultPoint2 = resultPoint1 + C 

Answer 3

的平面的方程爲ax + by + cz + d = 0，其中（A，B，c）是飛機的法線，d是到原點的距離。這意味着滿足該方程的每個點（x，y，z）都是該平面的一員。

給定兩個平面：

P1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 
P2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0 

兩者之間的交叉點是驗證兩個方程的點的集合。要找到這條線上的點，你可以簡單地爲x選擇一個值，任何值，然後求解y和z的方程。

y = (-c1z -a1x -d1)/b1 
z = ((b2/b1)*(a1x+d1) -a2x -d2)/(c2 - c1*b2/b1) 

如果您x=0，這得到簡單：

y = (-c1z -d1)/b1 
z = ((b2/b1)*d1 -d2)/(c2 - c1*b2/b1) 

Answer 4

該方法通過零避免了分裂，只要兩個平面不平行。

如果這些是平面：

A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0 
A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0 

1）找到平行於交線的向量。這也是垂直於其他兩個平面的第三平面的法線：

(A3,B3,C3) = (A1,B1,C1) cross (A2,B2,C2) 

2）形成3個方程組的系統。這些描述了在一個點相交的3個平面：

A1*x1 + B1*y1 + C1*z1 + D1 = 0 
A2*x1 + B2*y1 + C2*z1 + D2 = 0 
A3*x1 + B3*y1 + C3*z1 = 0 

3）解決它們以找到x1，y1，z1。這是相交線上的一點。

4）交線的參數方程爲：

x = x1 + A3 * t 
y = y1 + B3 * t 
z = z1 + C3 * t 

Answer 5

查找就行了

點如果要獲得2面的路口，你需要上線和一個點該線的方向。

找到該線的方向非常簡單，只需跨過相交的2個平面的2個法線。

lineDir = n1 × n2 

但是那條線穿過原點，並且沿着您的平面交點運行的線可能不會。因此，Martinho's答案提供了一個很好的開始找到交點（基本上任何點是在兩個飛機上）線上的點。

如果你想看看如何解決這個推導，這裏的數學背後：

首先令x = 0。現在我們在2個方程中有2個未知數，而不是2個方程中的3個未知數（我們任意選擇了一個未知數）。

乙 Y + C Z + d = 0

：

然後平面方程（因爲我們選擇x = 0的甲條款消除）乙 Y + C Z + d = 0

我們想要y和z，使得這兩個方程都可以正確求解（= 0），因爲給定的B ，C 。

所以，只要乘以（-B/B ）頂部當量得到

-B Y +（-B/B ）* C Z +（-B/B ）* d = 0

乙 Y + C Z + d = 0

添加等式獲得

Z =（（-B/B ）* D -D ）/（C * B/B ）* C ）

扔你發現到第一方程的Z現在找到ý作爲

Y =（-D - ç _1個 Z）/ B 1

注意最佳變量使得0與最低係數一樣，因爲它無論如何不會傳遞任何信息。因此，如果C 和C 均爲0，則選擇z = 0（而不是x = 0）將是更好的選擇。

如果B = 0（這不是不太可能），上述解決方案仍然可能出現故障。您可以添加一些if語句來檢查B = 0，如果是，請確保解決其中一個其他變量。

溶液中使用的3個平面

從user's答案相交，爲3層的平面相交處的閉合形式解實際上是在圖形寶石1的公式爲：

P_intersection =（（point_on1 •N1）（N 2×N 3）+（point_on2•N2）（N3×N1）+（point_on3•N3）（N1×N2））/ DET（N1，N2，N3）

實際上point_on1•N1 = -d1（假設你寫你的飛機Ax + By + Cz + D = 0，而不是= -D）。所以，你可以把它改寫爲：

P_intersection =（（-d1）（N2×N3）+（-D2）（N3×N1）+（-D3）（N1×N2））/ DET（ N1，N2，N3）

相交3架飛機的函數：

// Intersection of 3 planes, Graphics Gems 1 pg 305 
static Vector3f getIntersection(const Plane& plane1, const Plane& plane2, const Plane& plane3) 
{ 
    float det = Matrix3f::det(plane1.normal, plane2.normal, plane3.normal) ; 

    // If the determinant is 0, that means parallel planes, no intn. 
    if(det == 0.f) return 0 ; //could return inf or whatever 

    return (plane2.normal.cross(plane3.normal)*-plane1.d + 
      plane3.normal.cross(plane1.normal)*-plane2.d + 
      plane1.normal.cross(plane2.normal)*-plane3.d)/det ;    
} 

證明它的工作原理（黃點是在這裏RGB平面）

的交集

獲取線

一旦你有共同的2面相交的點，線只是去

P + T * d

其中P是點交點，t可以從（-inf，inf）去，d是兩個原始平面的法線的叉積的方向矢量。

路口的紅色和藍色平面之間的線看起來像這樣

效率和穩定性

「穩健」（第2方式）通過我的計算需要48個基本OPS，VS第一種方式（x，y的隔離）使用的36個基本操作。在這兩種方式之間穩定性和＃計算之間有一個折衷。

如果B 爲0並且您沒有檢查，將（0，inf，inf）從呼叫返回到第一種方式將會非常具有災難性。因此，在if語句中添加並確保不以第一種方式除以0可能會以代碼膨脹和增加的分支（可能會非常昂貴）爲代價提供穩定性。 3平面相交法幾乎是無分支的，不會給你無窮無盡的印象。

Answer 6

基於行列式的方法很整齊，但很難理解它爲什麼起作用。

這是另一種更直觀的方法。

這個想法是先從原點走到第一個平面上的最近點（p1），然後從那裏走到兩個平面相交線上的最近點。 （沿着我打電話下面一v向量。）

Given 
===== 
First plane: n1 • r = k1 
Second plane: n2 • r = k2 

Working 
======= 
dir = n1 × n2 
p1 = (k1/(n1 • n1)) * n1 
v = n1 × dir 
pt = LineIntersectPlane(line = (p1, v), plane = (n2, k2)) 

LineIntersectPlane 
================== 
#We have n2 • (p1 + lambda * v) = k2 
lambda = (k2 - n2 • p1)/(n2 • v) 
Return p1 + lambda * v 

Output 
====== 
Line where two planes intersect: (pt, dir) 

這應該給出相同的點作爲基礎決定的方法。兩者之間幾乎肯定有聯繫。至少分母n2 • v是相同的，如果我們應用「標量三重乘積」規則。所以這些方法可能與條件數字相似。

不要忘記檢查（幾乎）平行飛機。例如：如果使用單位法線，if (dir • dir < 1e-8)應該工作得很好。