在什麼情況下，多項式的泰勒級數是必要的？

Question

我很難理解爲什麼使用泰勒級數函數來獲得函數的近似值，而不是在編程時只使用函數本身。如果我可以告訴我的電腦計算e ^（。1），它會給我一個確切的值，爲什麼我會採取一個近似值？

Answer 1

泰勒級數通常不用於近似函數。通常使用某種形式的極大極小多項式。

泰勒級數收斂速度慢（它需要許多條件，從而獲得所需的精度）和效率低下（它們是圍繞着他們爲中心，不太準確遠離它點附近更準確）。泰勒級數的最大用途可能在數學課程和論文中，它們可用於檢查函數的性質和學習微積分。

爲了近似函數，經常使用極大極小多項式。最小最大多項式對於特定情況（函數要近似的間隔，多項式的可用度）具有最小可能的最大誤差。通常沒有找到最小多項式的解析解。它們可以用數字找到，使用Remez algorithm。 Minimax多項式可以根據特定需求進行定製，例如最小化相對誤差或絕對誤差，在特定時間間隔內近似函數等等。 Minimax多項式比泰勒級數需要更少的項來獲得可接受的結果，並且它們在整個間隔內「擴散」了誤差，而不是在中心更好，末端更差。

當調用exp函數計算e ^X，你可能使用了極小多項式，因爲有人爲你做的工作，並構建一個庫例程估算多項式。大多數情況下，唯一的算術計算機處理器可以做的是加法，減法，乘法和除法。所以其他功能必須從這些操作構建。前三個給出了多項式，而多項式足以近似許多函數，如正弦，餘弦，對數和指數運算（帶有一些額外的將事物移入和移出浮點值的指數域的操作）。分部增加了有用的功能，這對函數如arctangent很有用。

Answer 2

有兩個原因。首先也是最重要的 - 大多數處理器不具有像指數，對數等複雜操作的硬件實現......在這種情況下，編程語言可能提供用於計算這些操作的庫函數 - 換句話說，有人使用泰勒級數或其他近似值爲你。

其次，你可能有，即使不是語言支持功能。

我最近想用查找表與插值得到一個角度，然後計算罪（）和cos（）的角度。麻煩的是它是一個沒有浮點和沒有三角函數的DSP，所以這兩個函數真的很慢（軟件實現）。相反，我將sin（x）放在表格中而不是x中，然後用y = sqrt（1-x * x）的泰勒級數來計算cos（x）。這個泰勒系列在我只需要5個術語的範圍內是精確的（分母都是兩個冪的！），並且可以使用純C實現在固定點上，並生成比我能想到的任何其他方法都快的代碼。