TULIP以更簡單的形式在二維算法中進行三角測量

Question

我發現了一種在二維this鏈接中執行三邊測量的算法。但公式太複雜了。這裏發生了什麼？請你把它分解成像點的產品,交叉產品,的距離等？

Answer 1

讓P成爲未知點。 （粗體爲2D矢量。）

收件圓圈1和2的隱方程：

（P - P1）2 =d1²

（P - P2） ²=d2²

Subwise memberwise and rearrange：

2。 （P2 - P1）。 P =d1² - d2²+ P2² - P1²

用圓圈1和3

類似地：

2.（P3 - P1）。 P =d1² - d3²+ P3² - P1²

仔細觀察，你會發現，這形成了兩個線性方程的系統中兩個未知數：

2.（X2 - X1 ）.X + 2（Y2 - Y1）.Y =d1² - d2²+ P2² - P1²

2.（X3 - X1）.X + 2（Y3 - Y1）.Y =d1² - d3²+ P3² - P1²

使用克拉默的規則，或者如果你堅持使用向量微積分，如下工作。

重寫系統爲：

A.P =一個

B.P = B

計算矢量垂直於甲和乙在xy平面中，使用叉積A ' = 甲/\ 1Z和B' = 乙/\ 1Z和快速P作爲這些的線性組合：

P = u。 A' + v。 B」

執行點積與簡化後甲和乙給出，：

A.P = A =訴A.B'

B.P = b = u。 B.A '

注意A·B' = A.（乙/\ 1Z）= 1Z。（A/\ B）= - 1z。（乙/\ 甲）= - B.（甲/\ 1Z）= - B.A」（混合產物）。

總而言之：

P = [（ - B 甲 +一個乙）/ \ 1Z]/[1Z。（一個/\ 乙）

（這是克萊姆結果的重寫。）