多項式展開：分離多項式係數和x

Question

我想自動計算存在變量（x1，x2，...）以及係數（c1，c2，...）的多項式的展開式。我的目標是計算p(1)*(c1*x1+c2*x2+...)^n+ ... + p(n)*(c1*x1+c2*x2+...)^n .

正如您可以注意到的結果表達式可以寫成F(x1,x2...)*g(c1,c2,...) [其中F是行矩陣，g是列矩陣]，即在係數和變量之間存在一些乘法解耦。

現在我使用MATLAB符號工具箱，並通過手動檢查所產生的符號擴展來構造F和g。這不是非常可行，因爲如果n很大，並且c=(c1,c2,...)太大，則有太多的術語，並且不再可能手動。例如對於(c1*x1+c2*x2+c3)和n=2，我想要的是以下。

>> p=[2 5] 

p = 

    2  5 

>> syms c1 c2 c3 
>> syms x1 x2 
>> expression= p(1)*(c1*x1+c2*x2+c3)^2 + p(2)*(c1*x1+c2*x2+c3); 
>> expand(expression) 

ans = 

2*c1^2*x1^2 + 4*c1*c2*x1*x2 + 4*c1*c3*x1 + 5*c1*x1 + 2*c2^2*x2^2 + 4*c2*c3*x2 + 5*c2*x2 + 2*c3^2 + 5*c3 

>> F=[5*x1 5*x2 5 4*x1*x2 4*x1 4*x2 2*x1^2 2*x2^2 2] 

F = 

[ 5*x1, 5*x2, 5, 4*x1*x2, 4*x1, 4*x2, 2*x1^2, 2*x2^2, 2] 

>> g=[c1 c2 c3 c1*c2 c1*c3 c2*c3 c1^2 c2^2 c3^2].' 

g = 

    c1 
    c2 
    c3 
c1*c2 
c1*c3 
c2*c3 
    c1^2 
    c2^2 
    c3^2 

>> expand(F*g) 

ans = 

2*c1^2*x1^2 + 4*c1*c2*x1*x2 + 4*c1*c3*x1 + 5*c1*x1 + 2*c2^2*x2^2 + 4*c2*c3*x2 + 5*c2*x2 + 2*c3^2 + 5*c3 

我發現以下question，它看起來像有可能是一個辦法做到這一點使用自動conv等，如果人能拿出一個自動化的解決方案（或對這種自動化至少一些想法）爲在上述情況下x=(x1,x2) and c=(c1,c2,c3) and n=2的情況;我想我可以將它推廣到更高維的情況。

注意：F或g中的術語排序並不重要，因爲它們是以某種結構化方式排序的。

Answer 1

來自不同術語的係數不重疊。第一項，p(1)*(c'*x)^1，僅在xi和ci等級中具有1級的條款，依此類推。所以它成爲一次計算一個項的係數的問題。

那個，也有一個「簡單」的表達：

p(k)*(c'*x)^k = sum(i1,..,im>=0 with sum(i_)=k) 
    M(k;i1,..,im)*x1^i1*...*xm^im * c1^i1*...*cm^im 

其中求和是這樣的，所有i的總和等於k，並M是multinomial coefficient。

對於m=3,n=2，i將按照您的示例中的順序排列：110,101,011,200,020,002。 M（2; 110）= 2因此第一項是'p（2）* M（2; 110）* x1 * x2 = 4 * x1 * x2'。

您的F和G的條件是：

F(...) = p(k)*M(k;i1,..,im)*x1^i1*...*xm^im 
g(...) = c1^i1*...*cm^im