Java在某個點估算衍生物

我目前正在編寫一個計算器應用程序。我正在試圖寫一個派生估計器。下面的公式是一個簡單的方法。通常在紙上，您可以使用最小的h來獲得最準確的估計值。問題是雙打無法處理增加真正的小數字到相對龐大的數字。如4 + 1E-200只會導致4.0。即使h只是1E-16，4 + 1E16實際上會給你正確的價值，但是做數學它是不準確的，因爲在第16名之後的任何東西都會丟失，舍入不能正確發生。我聽說雙打的一般經驗法則是1E-8或1E-7。與此問題是大數不會工作，因爲2E231 + 1E-8將只是2E23，1E-8將因爲尺寸問題而丟失。Java在某個點估算衍生物

f'(x)=(f(x+h)-f(x))/h as x approaches 0

當我測試F（X）= X^2點4，使f'（4），它應該是正好是8 現在我明白了，我可能永遠不會得到完全8.但我最準確的似乎是1E-7或1E8 有趣的是1E-9到1E-11都給出了相同的答案。這裏是f(x)=x^2 at x=4

1E-7 8.000000129015916 
1E-8 7.999999951380232 
1E-9 8.000000661922968 
1E-10 8.000000661922968 
1E-11 8.000000661922968 
1E-12 8.000711204658728

這裏是我的問題，H公司和結果的列表：

什麼是挑小時最好的辦法，顯然1E-8或1E-7是有意義的，但如何我可以根據x選擇一個h，這樣即使x是3.14E203或2E-231，它也可以處理任何大小的數字。
我應該考慮多少精度小數。
您是否知道德州儀器是如何做到這一點的？TI 83,84和Inspire能夠以數值的方式計算出12位小數或精度的衍生物，並且幾乎總是正確的，但其數字的最大精度無論如何都是12位數字，那些計算器是非CAS的，所以它們實際上並沒有得到任何東西
從邏輯上看，1E-7到1E-8之間有一個數字，這會給我一個更精確的結果，有沒有辦法找到這個數字，或者最少接近它。

ANSWERED

非常感謝您BobG。該應用程序目前計劃使用兩種形式，一種命令行PC應用程序。和一個Android應用程序。您將特別感謝關於頁面的部分內容。如果你希望它會是開源的，但我不會發布鏈接到項目網站，直到我找出一些非常大的錯誤。目前我一直稱它爲Mathulator，但名稱可能會因爲已經有版權而改變，聽起來很愚蠢。當候選發行版運行時，我一點也不知道，當時我不知道它是什麼時候將會保持穩定。但如果我能實現我想要的一切，它將會非常強大。再次感謝。快樂編程。

來源

2011-04-04 The Dude

我得到了1E-7和1E-8的平均值更多的十進制小數。這就是5.4999999999999996E-8，得到的結果是8.000000080569821 – 2011-04-04 20:18:13

參見[數值微分]（http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_differentiation）。 – trashgod 2011-04-04 20:34:01

有一本書，回答這個問題（和其他類似）：

數字食譜用C，第2版，出版社，Vetterling，Teukolsky，和弗蘭納裏。這本書也有C++，Fortran和BASIC版本。可悲的是，沒有Java版本存在。此外，我相信這本書已絕版，但可以在線購買某些版本的二手版（至少通過bn.com購買）。

第5.7節「數值衍生物」 186正確地解釋了你所看到的數值導數問題，以及它爲何發生的原因，以及如何正確計算數值導數的函數（以C語言編寫，但應該很容易翻譯成Java）。其簡單的近似的概要這裏介紹：

1）在數字上，你最好計算對稱版本：

F'（x）=（F（X + H） - F（X - H））/ 2H

2）H應該是大約（sigma_f）^（1/3）* x_c

其中

sigma_f =〜f的計算的分數精度（X）用於簡單功能

x_c =〜x，除非x等於零。

但是，這不會導致最佳導數，因爲誤差是〜（sigma_f）^（2/3）。一個更好的解決方案是Ridders的算法，它在書中以C程序的形式出現（參見Ridders，CJF 1982，Advances in Engineering Software，vol.4，no.2，pp75-76。）

來源

2011-04-04 20:39:10 BobG

我會研究這個，非常感謝你 – 2011-04-04 21:01:59

非常感謝你，這個（當使用雙打而不是單一的浮動）給我大多數功能的確切答案，我從來沒有，雖然我會接近真正的答案只是一般接近估計。非常非常感謝你。這實際上給了我TI確切的浮點數，這是我正在尋找的。這幫助我克服了每一個小時，現在一直在尋找一個星期。下一個駝峯.....整合XD，應該很有趣，但我想我知道這一個 – 2011-04-05 01:41:20

閱讀標題爲「每個程序員應該知道什麼是浮點數」（google爲它）。然後你會看到大多數浮點值大約在計算機硬件中表示。

要進行沒有此缺點的計算，請使用符號計算。但是這不像使用浮點一樣有效。

要使浮點結果一致，請使用舍入至最近冪的10，例如0.1,0.01等。要了解何時應該停止apporximations，請在近似步驟中使用某種閾值來監視。例如，如果執行下一個近似步驟只產生。將001％更改爲已計算的值，則無法繼續使用近似值。

更新我有我的數值計算類很久以前，但我隱約記得，從其減去接近數字是非常糟糕的，因爲如果數字非常接近，最可靠的數字被取消了，你有不可靠的數字。這正是您在減少h時發生的情況。在這些情況下建議的是替代減法和其他一些操作。例如，你可以切換到你的`f（x）擴展的某種系列。

我不太理解你的第二個問題，因爲答案取決於你的要求 - 「儘可能多你想要的」。

順便說一句，您可能有更好的運氣，找到您在math.stackexchange.com的問題的答案。

此外，訪問鏈接通過thrashgod提供：Numerical differentiation

來源

2011-04-04 20:19:31

我已經知道了所有這一切。我的問題是什麼是最合適的h，以及如何縮放到任何尺寸 – 2011-04-04 20:40:39

@The Dude I更新了答案。 – 2011-04-04 20:57:03

啊謝謝你，我不知道math.stackexchange.com。 – 2011-04-04 21:00:42

我會用BigDecimal類這類計算的，雖然它不是一個回答你的問題，但它會真正提高浮點運算的精度。

來源

2011-04-04 20:22:08 bvk256

我想僅使用我的代碼編寫整個計算器。我不想寫我自己的餘弦和對數例程。我不得不因爲BigDecimal不這樣做。 – 2011-04-04 20:32:31

1 。浮點數（float和double）的精度取決於數字的絕對值。雙打有15位數的精度，所以你可以加1 + 1e-15，但是10 + 1e-15很可能再次是10，所以你必須做10 + 1e-14。爲了得到一個有意義的結果，我建議你用原始數字的絕對值乘以1e-8，這將導致你在導數中有大約7個正確的數字。喜歡的東西：

double h = x * 1e-8; 
double derivative = (f(x+h) - f(x))/h;

反正這是一個近似值，也就是說，如果你試圖計算sin（x）的在x = 1E9，你會得到H = 10的衍生物和結果將是完全錯誤的。但對於具有「接近零」的「有趣」部分的「常規」功能，這將工作得很好。

2.「h」越小，您對衍生物進行採樣的點越精確，但您得到的衍生物的正確位數越少。我無法證明這一點，但我的直覺是，與h = x * 1e-8你得到7 = 15 - 8正確的數字，其中15是double的精度。

而且，這將是一個好主意，用一個「更對稱」的公式，它提供了有關第二次多項式一個絕對正確的答案：

double derivative = (f(x+h) - f(x-h))/(2*h);

來源

2011-04-04 20:43:03

謝謝你的幫助，你說的對，這似乎更加精確。但是1E-7似乎是超精確的9個正確的0。所以讓我問你這個。如果我接受了這個罪（1E9），並將其簡化爲弧度的最低項，這還是更準確的。 sin（pi）= sin（3pi）所以如果我簡化爲sin（1E9）= sin（不管這是什麼），那麼就用它作爲我的x就是準確的。 – 2011-04-04 20:59:00

是的，對於'sin（x）'的特定情況，您可以將'x'轉換爲範圍（0; 2Pi），然後計算導數。但這已經是某種象徵性的數學：你必須知道'f（x）'的週期是2Pi。你會爲任何給定的功能做到這一點嗎？ – 2011-04-04 21:14:24

據Javadoc中，11位代表指數， 52位表示有效數字。無視指數，看起來你有52位玩家。所以如果你選擇h = x * 2^-40，那麼你在這裏使用了40位，而你看到的精度是2^-12。根據您的需要調整這個比例。

來源

2011-04-04 20:44:39 iluxa

我的問題是什麼是最合適的^h，以及如何可以將其縮放爲任何尺寸。

如Numerical Differentiation指出的，對於ħ一個合適的選擇是SQRT（ɛ） * X，其中ɛ是machine epsilon。

來源

2011-04-04 20:49:03 trashgod

Java在某個點估算衍生物

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