準確找到最小特徵值

Question

我想找到矩陣的最小（絕對值）非零特徵值。我可以使用numpy使用浮點運算來做到這一點，但

• 有沒有辦法得到確切的答案？
• 你必須爲此使用sympy還是有其他方法？

矩陣將會很小（比如小於20乘以20）整數值。當我說出確切的答案時，我的意思是與the answer of John Habert中的那些例子類似。

Answer 1

特徵值是algebraic numbers，即一些多項式的根。該多項式的程度將是矩陣維數。對於多項式達到4級，原則上能夠將這些數字寫成嵌套根，但除此之外，通常無法準確表示特徵值。即使在情況下，這將是可能的，你當然不希望看到的精確值，這裏是一個傻傻的看着小矩陣的例子：

Answer 2

從您的文章，目前尚不清楚是否矩陣將是Hermitian。我不知道一般情況下的方法。

但是！如果矩陣是Hermitian（對稱正定），則可以避免計算所有的特徵值，如果你只需要最小的那個（這將是正的）。您可以使用反向迭代。 http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_iteration

你可以用mu = 0開始算法;然後使用瑞利商 http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient_iteration這通常會給你非常快的收斂。該方法涉及方程的線性系統的解（或者，稍微等價地計算逆矩陣），但是如果矩陣又是厄米特矩陣，則可以爲其生成Cholesky分解，然後使用得到的三角矩陣解決系統問題。

在某些情況下，該方法會收斂到不正確的特徵值（比如，最小的旁邊）。另外，有趣的觀察結果是矩陣A的最大特徵值等於該矩陣的範數（其元素的平方和的平方根）。 A的SMALLEST特徵值等於1除以A的INVERSE的範數。因此，如果你的矩陣不是很大並且它的逆矩陣存在，那麼你可以負反轉它，然後執行它，然後計算1 /範數（INV（A））。這個值將是A的最小特徵值。