在Mathematica中找到一個ODE的特徵值和特徵函數

Question

假設給定一個邊界條件y'（0）= 0和y'（1）= 0的ODE y「+ ay = 0。如何使用Mathematica找到特徵值和特徵函數？如果給定一個更一般的ODE，讓我們假設y''+（y^2 - 1/2）y = 0在相同的邊界條件下？

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這個問題已經通過以下西蒙的評論回答。

Answer 1

DSolve只給出了 「通用」 的參數，這就是爲什麼

DSolve[y''[x] + a^2 y[x] == 0 && y'[0] == 0 && y'[1] == 0, y, x] 

只返回平凡{{y -> Function[{x}, 0]}}解決方案。

如果您考慮$ -a^2 $爲與0速度的邊界條件的二階導數算子的特徵值，第一解決

In[1]:= sol = DSolve[y''[x] + a^2 y[x] == 0, y, x] 
Out[1]= {{y -> Function[{x}, C[1] Cos[a x] + C[2] Sin[a x]]}} 

然後執行使用Reduce 的邊界條件（其中，簡化的結果，我也認爲a != 0 和sol是不平凡）

In[2]:= Reduce[y'[0] == 0 && y'[1] == 0 && 
       a != 0 && (C[1] != 0 || C[2] != 0) /. sol, 
       a] // FullSimplify 

Out[2]= Element[C[3], Integers] && C[2] == 0 && C[1] != 0 && 
     ((a == 2*Pi*C[3] && a != 0) || Pi + 2*Pi*C[3] == a) 

它說，特徵向量是proportio對於$ a = 2 n \ pi $或$ a =（2 n + 1）\ pi $並且$ n $是一個整數，nal to $ \ cos（a x）$。

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至於你的問題的第二個方程，它纔有意義談論特徵向量線性算。對於非線性微分方程，特徵向量可用於檢查臨界點附近的線性行爲。