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如果人們可以幫助我找到一種有效的方法（可能是低內存算法）來解決以下問題，我將不勝感激。如何找到給定特徵值1的特徵向量，最大限度地減少內存使用
我需要找到轉換矩陣P的平穩分佈x。轉移矩陣是一個非常大的，極其稀疏矩陣，構造爲使得由於固定分佈由等式給出Px = x所有列總和爲1，然後x是一個簡單的與P特徵值有關的特徵向量1.
我目前使用GNU Octave來生成轉換矩陣，找到平穩分佈並繪製結果。我使用函數eigs()來計算特徵值和特徵向量，並且有可能返回一個特徵向量，其中特徵值是1（爲了防止錯誤，我實際上必須指定1.1）。轉換矩陣（使用稀疏矩陣）的構造相當快，但是當我增加尺寸時發現特徵向量變得越來越慢，並且在我能夠檢查即使是中等大小的問題之前，內存耗盡。
我當前的代碼是
既然我知道1是本徵值，我想知道是否有可以是一個更好的方法來計算的特徵向量，或者使更有效地使用一種方法內存，因爲我並不真的需要一箇中等大型的密集矩陣。我天真地嘗試
n = size(P,1); % number of states
Q = P - speye(n,n);
x = Q\zeros(n,1); % solve (P-I)x = 0
這失敗，因爲Q是單數（定義）。
如果有人對我應該如何處理這個問題有任何想法，我將非常感激，因爲這是一個計算，我必須執行很多次，並且我想在更大和更復雜的模型上嘗試它if可能。
作爲這個問題的背景，我正在求解一個隨機SIR模型中牛羣感染數量的均衡分佈。不幸的是，即使是中等大小的牛羣，轉換矩陣也非常大。例如：在平均20個人（95％的時間人口在12和28個人之間）的SIR模型中，P是21169到21169，其中20340個非零值（即0.0005％密度），並且用完321 Kb（這個尺寸的全矩陣將是3.3 Gb），而對於大約50個人，P使用3 Mb。 x本身應該很小。我懷疑eigs()在某個地方有一個密集的矩陣，這會導致我用完內存，所以如果我可以避免使用完整矩陣，我應該沒問題。
謝謝，我正在嘗試它（忽略我以前的評論，我意識到即使我已經得到了特徵值，它仍然可以是有用的，因爲我確信最大的特徵值已經是1）。 現在我開始我的初始'x'作爲'ones（n，1）/ n'（其中'P'是n乘n），並且重複乘以'P'，所以內存需求不會氣球（如果我嘗試了「P」來獲得某種力量，那麼非零元素的數量會迅速增加）。如果它比以前更好，我會報告回來。 – spaceLem
當然，對於一個小案例來說，最大的幾個特徵值是1，.9927，.9818，.9676 ......所以收斂可能需要一段時間。 – spaceLem
最大特徵值HAS爲1（除了數值誤差），或者平衡分佈將爆炸至無窮大或消失至零。請參閱本文中「融合速度」一節：http://en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain – Peter