到平面球面座標距離

Question

背景信息

考慮像這裏顯示的一球座標系：

Coordinate System http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif

對於一個特定的點，我們通過（R，θ，Φ指定其位置）。

A面可以在此座標系中作爲設定的所有點（R，θ，Φ），使得披=披」來描述。

的問題

假設我們有由固定披=披」給定的單個平面內。對於任意點（r，theta，phi），計算從（r，theta，phi）到由phi = phi'定義的平面的距離的最快和最簡單的方法是什麼？

從本質上講，我試圖找到點到面的距離在球面座標的簡單公式。

我已經試過

我覺得就足夠了簡單的轉換，從球面到笛卡爾座標生成一個點（X，Y，Z）=（R，θ，Φ），然後生成一個平面也以笛卡爾座標表示。然後，我可以使用標準公式計算笛卡爾座標系中從點到平面的距離。 這種方法不是最優的，因爲我需要在我的代碼的內部循環中運行這個計算數十億次。

一個理想的答案會告訴我如何計算這個距離，而不轉化成直角座標。然而，如果有人能證實我在「我所嘗試過的」這個想法是合理的，這也是有用的。

在此先感謝！

Answer 1

如果您正在尋找R的另一側（不是在披面），應當由下式給出：

d = |r|sin(90 - theta) 

因爲我們有一個直角三角形。

Answer 2

你的做法是「正確的」，但它是一個有點太普通了這個問題。在你遇到的問題中，你正在處理一種特定的平面：一個穿過z軸的平面。

鑑於這個事實，我們可以嘗試一個捷徑。假設我們圍繞z軸旋轉座標系以獲得另一個系統（X，Y，z），以便您之前給出的平面現在是X-z平面。

在這個新系統的點的座標爲（R，θ，Φ - 披'）。因此，在X-Z平面上的投影是 r * sin（theta）* sin（phi-phi'）。 這是最後的答案，因爲在我們的平面上投影點的長度在兩個座標系中都是相同的。

如果我們處理的是一個普通的平面，你的做法會更好。

Answer 3

只是另一種獲得@Parakram Majumdar答案的方法。

A面可以由單位矢量垂直於平面Ñ並且由平面離原點的距離來參數化的，b（見http://mathworld.wolfram.com/Point-PlaneDistance.html）。由於你的平面經過原點，我們有：b = 0，單位矢量與平面垂直，單位矢量爲phi方向，即phi = [ - sin（phi'），cos（phi '），0]。距離點[R的形成平面只是點積，ñ* R：

n*r = [-sin(phi'), cos(phi'), 0] * [r*sin(theta)*cos(phi), r*sin(theta)*sin(phi), r cos(theta)] = r*sin(theta)*sin(phi-phi') 

Answer 4

難道不是R *棕褐色（PHI）？

落入xz平面（假設y軸是極軸），角度phi是「新平面」和當前phi位置之間的角度。

在下圖中，phi實際上等於（新phi - 當前phi）。