從法向矢量給出的平面到XY平面的座標映射

Question

所以，我有這個算法來計算3D平面與法向矢量給出的平面的截面。

但是，我目前的問題是，橫截面是由三維點組成（全部位於給定平面上）並顯示它，我需要將此座標映射到XY平面。

如果平面法線類似於（0,0，c） - 這就完美了 - 我只是複製x和y座標而丟棄z。

這裏是我的問題：由於我不知道如何轉換任何其他平原，任何人都可以給我任何暗示，我現在該怎麼辦？

Answer 1

你窗格可通過正常的矢量

n=(xn,yn,zn) 

對於座標變換定義，我們需要2個基向量和零點窗格

基向量

我們選擇那些「自然地「裝配到x/y窗格（稍後參見邊緣情況）：

b1=(1,0,zb1) 
b2=(0,1,zb2) 

我們想

​​（C const的標量）

，以確保這兩個是真正立足

現在解決這個問題：

b1 x b2= (0*zb2-zb1*1,zb1*0-1*zb2,1*1-0*0) = (zb1,zb2,1) 
zb1*c=xn 
zb2*c=yn 
1*c=zn 

c=zn, 
zb2=yn/c=yn/zn 
zb1=xn/c=xn/zn 

b1=(1,0,yn/zn) 
b2=(0,1,xn/zn) 

和規範它

bv1=(1,0,yn/zn)*sqrt(1+(yn/zn*yn/zn)) 
bv2=(0,1,yn/zn)*sqrt(1+(xn/zn*xn/zn)) 

An邊緣情況是，當zn = 0時：在這種情況下，法向矢量平行於x/y窗格，並且不存在自然基矢量。在這種情況下，您必須通過美觀POV選擇基底b1和b2矢量，並通過相同的解決方案流程或只選擇bv1和bv2。

零點

你不會說錨點在OQ的窗格，但它需要從平行窗格的無限族區分你的窗格。

如果你的定位點（0,0,0），這是爲座標變換一個完美的錨點和您的面板上有

x*xn+y*yn+z*zn=0, 
(y0,y0,z0)=(0,0,0) 

如果沒有，我假設你有（XA的錨點，ya，za）並且您的窗格有

x*xn+y*yn+z*zn=d 

with d const標量。自然地適合將是窗格的點，即由原始零點的正常投影所限定到窗格：

P0=(x0,y0,z0) 

與

(x0, y0, z0) = c * (xn,yn,zn) 

解決這個反對

x*xn+y*yn+z*zn=d 

給出

c*xn*xn+c*yn*yn+c*zn*zn=d 

和

c=d/(xn*xn+yn*yn+zn*zn) 

從而

P0=(x0,y0,z0)=c*(xn,yn,zn) 

被發現。

最終轉化

由代表你的窗格的每一個點（即你想顯示這些點）作爲

P0+x'*bv1+y'*bv2 

具有x「和y」是新的座標來實現的。既然我們知道P0，bv1和bv2，這是相當微不足道的。如果我們不在邊緣情況下，我們在bv1.y和bv2.x中有零點，進一步減少了問題。

x'和y'是您想要的新座標。