使用預定的特徵值計算lapack中的特徵向量？

Question

我對lapack有一個相當不尋常的挑戰，我花了數小時尋找解決方案。

我有一個傳統形式（A - x B = 0）的廣義特徵值問題。通常我會使用例如hegvx或hegvd來計算特徵值和特徵向量。

但是我現在面臨的挑戰是，現在我已經知道問題構造的特徵值，因此我只需要一個有效的程序來計算特徵向量？

任何人都有這個黑客？

Answer 1

鑑於廣義本徵值問題

（A - Y B）x = 0時

和特徵值炔：

（A - Ÿ_Ñ B）X _Ñ = 0

我們知道A，B和YN，所以我們可以形成一個新的矩陣道道

C^_Ñ = A - ý_Ñ乙

Ç_Ñ X _Ñ = 0

可以用任何線性代數求解器分別爲每個特徵值解決這個問題。按照LAPACK docs on linear equations，對於一般的矩陣，雙精度，你可以使用DGETRS

編輯簡併徵值：

矩陣的零空間道道就是我們解決了這裏（如MVG評論）。如果

Ç_Ñ J = 0和
Ç_Ñ K = 0

（即簡併的e-瓦爾斯）然後給予Ĵ^Ť K = 0（均仍是AB的特徵向量系統），我們可以說

呼叫的ç_ñ一個行r：

RK = RK - J ^牛逼 .k =（r-j ^T）。ķ

從而形成了矩陣Ĵ，它的行各自是Ĵ^Ť（必須有這樣的名稱，但不知道它）：

（C _Ñ - J）K = 0

定義

d _NJ = C _ñ - J

現在解決爲新矩陣D _nj。通過構造，這將是具有相同退化特徵值的原始矩陣的新的正交特徵向量。