numpy的特徵值的精度h

首先我通過使用numpy.linalg.eigvalsh找到（4000x4000）矩陣的特徵值。然後，我改變了邊界條件，只希望特徵值發生微小的變化。numpy的特徵值的精度h

減去特徵值容易出現浮點錯誤，所以我使用了一些相對容差。

現在說我有一個特徵值A = 1.0001e-10，和另一個B = 1.0050e-10。根據我對浮點運算的低級知識，A - B != 0。問題是，這些數字來自涉及許多數量級的線性代數計算。其他特徵值可能例如是1。

問題是，使用numpy.linalg.eigvalsh計算的特徵值的精度是多少？這個精度是相對於數值（A * eps）還是相對於最大特徵值？或者可能相對於原始矩陣的元素？

例如，這個矩陣：

1  1e-20 
1e-20 3

給出了同樣的特徵值，因爲這：

1  1e-5 
1e-5 3

來源

2012-12-15 jarondl

我不知道如果LAPACK使用eigvalsh下方，但是這可能會感興趣：

的對稱/非對稱特徵值問題LAPACK誤差界限：

http://www.netlib.org/lapack/lug/node89.html

http://www.netlib.org/lapack/lug/node91.html

來源

2012-12-15 10:37:46

謝謝，@ aka.nice，似乎是正確的方向。我是否理解精確度與epsilon乘以最大特徵值？ – jarondl

是的，在對稱情況下，這也是我的理解。 –

讓我補充說，通常在等級計算特徵值小於N倍epsilon倍時，最大特徵值被認爲等於零。（所有計算量級）。 –

首先，解算器並不確切。其次，你的例子矩陣條件很差：對角線元素比非對角線元素大幾個數量級。這總是會導致數字問題。

從簡單的代數，第二矩陣的行列式是(1 * 3) - (1e5 * 1e5) = 3 - 1e-10。您已經可以看到精度問題實際上是最小元素精度的兩倍。（這同樣適用於特徵值。）即使linalg使用雙精度，因爲求解器是近似的，你會得到相同的答案。如果將小數值更改爲1e-3，則開始看到差異，因爲現在精度與數值近似的數量級相同。

這個具體問題has been asked before。您可以在this answer中看到如何使用sympy以任意精度解出特徵值。

來源

2012-12-15 13:28:29 tiago

謝謝@tiago。矩陣只是例子，誇大了手頭的問題，而不是我實際使用的。問題不在於爲什麼結果不同，或者如何解決這個問題。問題是什麼是特徵值結果的有效性機制，因爲我想比較兩組之間的細微差別。你回答了完全不同的東西。 – jarondl

@jarondl，再看一眼我的確沒有想到你問題的最後一段......我以爲你更擅長任意精確的線性代數。 – tiago

numpy的特徵值的精度h

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