將座標轉換爲旋轉座標系

Question

我想將舊圖形編輯器的旋轉和裁剪矩形設置轉換爲使用與舊座標系不同座標系的新編輯器。下圖說明了該問題：

所有矩形具有相同的縱橫比（例如3:2），並且所有的座標被跨越邊緣歸一化（即，從0到1在X和Y方向）。

舊程序保存了與綠色矩形（原點在A）對齊的座標系中給出的藍色矩形C的角點座標以及黃色矩形的旋轉角度。

新程序需要座標系中藍色矩形的邊角與黃色矩形對齊（原點位於B）。我如何做從舊到新的轉變？

這看起來像是一個簡單的數學問題，但是從數學課程開始已經很多年了，我無法用筆和紙來解決這個問題，也沒有搜索這個網站（很多類似的問題，但我找不到相當匹配......）

Answer 1

讓c(0), c(1), c(2), c(3)成爲C的四個角，讓b(0)成爲B的座標系所在的轉角B.令q爲B的X軸的旋轉角度。所有這些角度和點必須在相同的座標系中給出。

要找到B中的c(i)的座標，請將矢量c(i) - b(0)旋轉角度q（或-q，具體取決於測量方式）。你可以使用這個旋轉矩陣。設cq = cos(q),sq = sin(q)和(dx, dy) = c(i) - b(0)。的c(i) B中的座標然後

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讓c = (c(0) + c(2))/2是C的中心設S(s)是由s縮放矩陣，讓R(q)是由q旋轉矩陣。 B的角落由

b(i) = c + S(s) * R(q) * (c(i) - c) 

矩形A的角落a(0), a(1), a(2), a(3)也是已知的。我們希望確定縮放參數的最大可能值s，使得所有的點B的b(i)是矩形A.

我覺得這裏最安全，最簡單的方法是考慮有關對b(i)和a(i)和這樣的內對計算最大值s(i, j)，使得如果s = s(i, j)則b(i)位於a(j)的拐角區域內。

a(0)讓和a(2)是A的相對的角，並讓c(0)和c(1)是C的相鄰角讓r(j) = a(j) - c和d(i) = R(q) * (c(i) - c)。

每個對角線i可以通過

s(i, j) = min (|r(j).x|/|d(i).x|, |r(j).y|/|d(i).y|) 

之前乙通過r(j)限定的區域外移動時進行縮放。計算s(i, j)爲i = 0, 1和j = 0, 2並且s爲這4個值中的最小值。

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根據q如何衡量你可能需要一個轉換應用於q' = atan2(kx * sin(q), ky * cos(q))到q佔的縱橫比的問題。