求解具有特徵的小齊次線性系統的最快方法

我需要求解許多形如Ax = 0的小（n = 4）齊次線性系統，其中A是一個奇異矩陣。我目前使用下面的代碼：求解具有特徵的小齊次線性系統的最快方法

void solve(const matrix_t& A, vector_t& x){ 
    auto svd = A.jacobiSvd(Eigen::ComputeFullU | Eigen::ComputeFullV); 
    auto V = svd.matrixV(); 
    x = V.col(A.rows() - 1); 
    x.normalize(); 
}

有沒有更快的方法來做到這一點？

來源

2017-08-29 dari

這我會做什麼。你的服務水平目標是什麼？您是否根據代表性數據衡量了性能？第90百分位牆的時間與SLO相比如何？ – duffymo

爲什麼只在使用V時詢問U？你需要複製V嗎？ –

@MarcGlisse你說得對，U並不真正有用。我正在測試其他幾種方法，發現使用LU或QR分解的速度要快得多。這些有什麼缺點嗎？ – dari

獲得具有特徵的一般矩陣的零空間的最快方法是使用其LU分解。在實踐中，我使用Householder QR分解而不是LU，因爲當輸入矩陣不是完全單數時它看起來更穩定。 QR仍然比問題中提出的SVD快得多，給我的問題提供了非常類似的結果。不同的本徵分解的基準可以在這裏找到：https://eigen.tuxfamily.org/dox/group__DenseDecompositionBenchmark.html

代碼計算與LU，QR和SVD零空間（注：x.normalize()不是必需的，但有助於比較方案）：

template<typename matrix_t, typename vector_t> 
void solveNullspaceLU(const matrix_t& A, vector_t& x){ 
    x = A.fullPivLu().kernel(); 
    x.normalize(); 
} 

template<typename matrix_t, typename vector_t> 
void solveNullspaceQR(const matrix_t& A, vector_t& x){ 
    auto qr = A.transpose().colPivHouseholderQr(); 
    matrix_t Q = qr.householderQ(); 
    x = Q.col(A.rows() - 1); 
    x.normalize(); 
} 

template<typename matrix_t, typename vector_t> 
void solveNullspaceSVD(const matrix_t& A, vector_t& x){ 
    x = A.jacobiSvd(Eigen::ComputeFullV).matrixV().col(A.rows() - 1); 
    x.normalize(); 
}

來源

2017-08-30 14:52:34 dari

求解具有特徵的小齊次線性系統的最快方法

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