如何在三維空間中投影平面上的多邊形

Question

我想將我的多邊形沿矢量投影到三維空間中的平面。我最好使用一個單一的變換矩陣來做到這一點，但我不知道如何構建這種矩陣。

鑑於

• 飛機的參數（由+ CZ + d AX +），
• 世界座標我的多邊形。正如標題所述，我的多邊形的所有頂點都位於另一個平面上。
• 沿着該突出我的多邊形（目前多邊形的平面的法線矢量）

目標 -a 4×4變換矩陣，其執行所需要的投影中，方向矢量

或

• 關於如何自己構建一個的一些見解

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UPDATE

謝謝你的回答，它按預期工作。

對於發現這種情況的人來說，要小心一個詞：如果投影法線的平面與投影矢量平行，分母D將變成（幾乎）0，所以爲了避免奇怪的事情發生，對於這種特殊情況是必要的。我通過檢查D < 1e-5解決了這個問題，如果是的話，只需將我的多邊形沿着擠出矢量平移。

Answer 1

假設多邊形頂點中的一個是(x0, y0, z0)，方向矢量是(dx,dy,dz)。

投影線上的一點是：(x,y,z) = (x0 + t*dx, y0 + t*dy, z0 + t*dz)。

你想找到與平面這條線的交叉點，所以它插入平面方程ax+by+cz+d = 0和解決T：

t = (-a*x0 - b*y0 - c*z0 - d)/(a*dx + b*dy + c*dz) 

然後你有你的目標頂點：x = x0+dx*t等

由於這是一個仿射變換，它可以通過一個4x4矩陣來執行。您應該能夠通過將x，y，z的三個方程寫爲x0，y0，z0的函數並獲取係數來確定矩陣元素。

例如，對於X：

x = x0 - (a*dx*x0 + b*dx*y0 + c*dx*z0 + d*dx)/D 
x = (1 - a*dx/D)*x0 - (b*dx/D)*y0 - (c*dx/D)*z0 - d*dx/D 

凡D = a*dx + b*dy + c*dz是分母從上方。 y和z的工作方式相似。

結果矩陣：

1-a*dx/D -b*dx/D -c*dx/D -d*dx/D 
-a*dy/D 1-b*dy/D -c*dy/D -d*dy/D 
-a*dz/D -b*dz/D 1-c*dz/D -d*dz/D 
    0   0   0   1 

（注：在Direct3D的這個矩陣應該換位，因爲它使用行向量而不是列向量）。