近似R中二項式隨機變量之和的分佈

Question

我的目標是近似二項式變量總和的分佈。 我使用Ken Butler和Michael Stephens的以下論文The Distribution of a Sum of Binomial Random Variables。

我想寫一個R腳本來找到皮爾遜近似的二項式和。 有一個R包PearsonDS，允許以一種簡單的方式做到這一點。

所以我拿這篇論文的第一個例子，試圖找到這種情況下皮爾遜分佈的密度。 最後，我收到一條錯誤消息「這些時刻沒有概率分佈」。

請問你能解釋我下面的代碼有什麼問題嗎？

library(PearsonDS) 

＃定義參數五二個隨機變量下

n<-rep(5,5) 
p<-seq(0.02,0.10,0.02) 

＃找到前四個累積

k.1<-sum(n*p) 
k.2<-sum(n*p*(1-p)) 
k.3<-sum(n*p*(1-p)*(1-2*p)) 
k.4<-sum(n*p*(1-p)*(1-6*p*(1-p))) 

＃發現偏度和峯度參數

beta.1<-k.3^2/k.2^3 
beta.2<-k.4/k.2^2 

＃定義時刻和計算

moments <- c(mean=k.1,variance=k.2,skewness=sqrt(beta.1),kurtosis=beta.2) 
dpearson(1:7,moments=moments) 

我收到錯誤消息「這些時刻沒有概率分佈」。

Answer 1

你試圖插入在你的瞬間的峯度，實際上是超峯度，這只是kurtosis - 3。從dpearson()幫助頁：

時刻：均值，方差，偏度，峯度（沒有超額峯度）的
可選矢量/列表。

因此增加3 beta.2將爲您提供真正的峯度：

beta.1 <- (k.3^2)/(k.2^3) 
beta.2 <- k.4/(k.2^2) 
kurt <- beta.2 + 3 

moments <- c(mean = k.1, variance = k.2, skewness = beta.1, kurtosis = kurt) 
dpearson(1:7, moments=moments) 
# [1] 0.3438773545 0.2788412385 0.1295129534 0.0411140817 0.0099279576 
# [6] 0.0019551512 0.0003294087 

爲了得到像在紙張上的結果，我們應該調查的累積分佈函數，並添加0.5校正

ppearson(1:7+0.5, moments = moments) 
# [1] 0.5348017 0.8104394 0.9430092 0.9865434 0.9973715 0.9995578 0.9999339 

一點背景信息：引起由連續近似一個離散分佈的偏置

由於峯度和偏度之間的關係不是無效的，因此該函數產生錯誤：峯度由以下方式偏斜度較低：kurtosis >= (skewness)^2 - 1。證明並不漂亮，當然超出了問題的範圍，但如果您喜歡這種不平等的不同版本，可以查看下面的參考資料。

1. Wilkins，J.Ernest。關於偏度與峯度的一個註記。安。數學。中央集權。 15（1944），no。3，333--335。 http://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177731243。
2. K.Pearson。數學對進化論的貢獻，XIX;第二個補充回憶錄偏斜變異。 PHILOS。跨。羅伊。 SOC。倫敦Ser。 A，216（1916），p。 432 http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/216/538-548/429
3. Pearson，K.（1929）。 「編者注意到」頻率函數矩和各種統計常數的不等式「。 Biometrika。 21（1-4）：361-375。 link