數學 - 3D空間中旋轉的2D光盤的生成點

Question

我一直試圖在3D空間中沿着光盤的位置和法線生成沿着2D光盤（包括平移和旋轉）的圓環的點。

我一直在使用下面的代碼來生成點，在Matlab一直在測試它（但在C＃將利用這一點），以檢查點正確生成，但它似乎並沒有被生成點正確。

numPoints = 25; 
radius = 1; 
pos = [1; 2; 3]; 
dir = normc([3; 4; 6]); % normalised 

function [pointsT, points] = GenerateDiscPoints(numPoints, radius, pos, dir) 
    points = zeros(numPoints, 3); 
    pointsT = zeros(numPoints, 3); 

    % Angle between points 
    angle = 2 * pi/numPoints; 

    for i = 1:numPoints+1 
     % Current point angle 
     theta = angle * i; 

     % Generate point in flat disc (y is vertical axis in Unity) 
     x = radius * cos(theta) + pos(1); 
     y = 0 + pos(2); 
     z = radius * sin(theta) + pos(3); 

     % Save points 
     points(i, 1) = x; 
     points(i, 2) = y; 
     points(i, 3) = z; 

     % Calculate t value to translate points 
     t = (dir(1) * pos(1) - dir(1) * x + dir(2) * pos(2) - dir(2) * y + dir(3) * pos(3) - dir(3) * z)/(dir(1)*dir(1) + dir(2)*dir(2) + dir(3)*dir(3)); 

     % Translate points to correct location 
     xT = x + t*dir(1); 
     yT = y + t*dir(2); 
     zT = z + t*dir(3); 

     % Save translated points 
     pointsT(i, 1) = xT; 
     pointsT(i, 2) = yT; 
     pointsT(i, 3) = zT; 
    end 

    % Plot 
    figure; 
    hold all; 
    grid on; 
    scatter3(points(:,1), points(:,2), points(:,3), 25, 'r'); 
    scatter3(pointsT(:,1), pointsT(:,2), pointsT(:,3), 25, 'g'); 
    p3 = line([pos(1) pos(1)+dir(1)], [pos(2) pos(2)+dir(2)], [pos(3) pos(3)+dir(3)]); 
    set(p3, 'Color', 'blue'); 
end 

藍線是正常的光盤，紅點是點被翻譯之前，綠點是被翻譯後的點。據我的眼睛看來，翻譯後的點似乎不是在具有正常指定的光盤中產生的。

我現在的算法有什麼問題？更好的方法是什麼？

Answer 1

沿dir方向A簡單線性平移不足 - 您會在pos與平面上的圓的投影結束與正常dir，即橢圓形。

你既可以：

• 使用四元構建旋轉矩陣重新定向您的生成圈子dir。

  • 創建這個四元數：https://stackoverflow.com/a/1171995/8204776
  • 它轉換爲一個矩陣：https://stackoverflow.com/a/1556470/8204776

或

• 在pos構造一個正交基，其中一個軸是dir。

  簡單的方法來做到這一點：

  1. 檢查X軸平行於dir - 最好是做abs(dot(dir, X)) < 0.8（假設都是歸一化），所以他們不是太接近對方

  2. 如果（1）爲真，則採取dir2 = Y，否則dir2 = X。

  3. 創建第一個基礎矢量，A = normalize(cross(dir, dir2))。

  4. 創建第二個，B = cross(dir, A)。現在

  5. 可以生成在由pos + radius * (A * cos(theta) + B * sin(theta))theta的每個值的點（在矢量表示法）。