OpenGL從速度矢量旋轉

Question

這應該很容易，但我一直試圖找到一個簡單的解釋，我可以把握。我有一個對象，我想在OpenGL中表示爲一個圓錐體。該物體具有x，y，z座標和速度矢量vx，vy和vz。錐應指向速度矢量的方向。

所以，我覺得我的PyOpenGL代碼應該是這個樣子：

glPushMatrix() 
glTranslate(x, y, z) 
glPushMatrix() 

# do some sort of rotation here # 

glutSolidCone(base, height, slices, stacks) 
glPopMatrix() 
glPopMatrix() 

那麼，是正確的（迄今爲止）？我用什麼來代替「＃在這裏做某種旋轉＃」？

在我的世界裏，Z軸指向（0,0,1），沒有任何旋轉，我的錐體也是如此。

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好吧，雷託Koradi的答案似乎是，我應該採取的辦法，但我不知道的一些實施細則和我的代碼是行不通的。

如果我理解正確，旋轉矩陣應該是4x4。 Reto向我展示瞭如何獲得3x3，所以我假定3x3應該是4x4單位矩陣的左上角。這裏是我的代碼：

import numpy as np 

def normalize(v): 
    norm = np.linalg.norm(v) 
    if norm > 1.0e-8: # arbitrarily small 
     return v/norm 
    else: 
     return v 

def transform(v): 
    bz = normalize(v) 
    if (abs(v[2]) < abs(v[0])) and (abs(v[2]) < abs(v[1])): 
     by = normalize(np.array([v[1], -v[0], 0])) 
    else: 
     by = normalize(np.array([v[2], 0, -v[0]])) 
     #~ by = normalize(np.array([0, v[2], -v[1]])) 

    bx = np.cross(by, bz) 
    R = np.array([[bx[0], by[0], bz[0], 0], 
        [bx[1], by[1], bz[1], 0], 
        [bx[2], by[2], bz[2], 0], 
        [0,  0,  0,  1]], dtype=np.float32) 

    return R 

，這裏是它被插入渲染代碼的方式：

glPushMatrix() 
glTranslate(x, y, z) 
glPushMatrix() 

v = np.array([vx, vy, vz]) 
glMultMatrixf(transform(v)) 

glutSolidCone(base, height, slices, stacks) 
glPopMatrix() 
glPopMatrix() 

不幸的是，這是行不通的。我的測試案例錐體只是沒有正確指出，我無法識別失敗模式。如果沒有「glutMultMatrixf（變換（V）」行，錐沿z軸對齊，符合市場預期。

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它的工作。雷託Koradi正確地確定了需要旋轉矩陣，以便匹配移調。的OpenGL列順序的代碼應該是這樣的（優化前）：

def transform(v): 
    bz = normalize(v) 
    if (abs(v[2]) < abs(v[0])) and (abs(v[2]) < abs(v[1])): 
     by = normalize(np.array([v[1], -v[0], 0])) 
    else: 
     by = normalize(np.array([v[2], 0, -v[0]])) 
     #~ by = normalize(np.array([0, v[2], -v[1]])) 

    bx = np.cross(by, bz) 
    R = np.array([[bx[0], by[0], bz[0], 0], 
        [bx[1], by[1], bz[1], 0], 
        [bx[2], by[2], bz[2], 0], 
        [0,  0,  0,  1]], dtype=np.float32) 

    return R.T 

Answer 1

一個有用的概念，這裏要記住的是，線性變換也可以被解釋爲座標系的變化。換句話說，而不是描繪點在座標系統內轉換，你可以很好地描繪點的位置，但它們的位置座標以新的座標系表示。當查看錶達變換的矩陣時，這個新座標系的基向量是矩陣的列向量。

在下面，新座標系的基矢量被命名爲bx,by和bz。由於旋轉矩陣的列需要是正交的，所以bx,by和bz需要形成正交的向量集合。

在這種情況下，原始錐體沿着z軸取向。由於您希望錐體沿着(vx, vy, vz)取向，所以我們使用此矢量作爲新座標系的z軸。因爲我們希望有一個標準正交座標系中，唯一剩下要做獲得bz是歸這個載體：

   [vx] 
bz = normalize([vy]) 
       [vz] 

由於錐體是旋轉對稱的，它並沒有真正無論怎麼剩餘的兩個基向量被選擇，只要它們都與bz正交，並且彼此正交。找到給定矢量的任意正交矢量的簡單方法是保持一個座標0，交換其他兩個座標，並更改這兩個座標之一的符號。同樣，矢量需要進行歸一化。我們可以用這種方法選擇的載體包括：

   [ vy]     [ vz]     [ 0 ] 
by = normalize([-vx]) by = normalize([ 0 ]) by = normalize([ vz]) 
       [ 0 ]     [-vx]     [-vy] 

每個向量與(vx, vy, vz)的點積爲零，這意味着向量是正交的。

雖然這些（或其他變體）之間的選擇大多是任意的，但必須注意不要以退化矢量結束。例如，如果vx和vy都爲零，則使用這些向量中的第一個將是不好的。爲避免選擇（近）簡併向量，一個簡單的策略是使用這三個向量中的第一個，如果vz小於vx和vy，並且另外兩個之一。

有了兩個新的基矢量，第三是其它兩個的叉積：

bx = by x bz 

所有剩下的是填充具有列向量bx，by和bz旋轉矩陣，並且旋轉矩陣已完成：

[ bx.x by.x bz.x ] 
R = [ bx.y by.y bz.y ] 
    [ bx.z by.z bz.z ] 

如果您需要4x4矩陣，例如因爲你使用的是傳統的固定功能的OpenGL管道，您可以將此擴展到4x4矩陣：

[ bx.x by.x bz.x 0 ] 
R = [ bx.y by.y bz.y 0 ] 
    [ bx.z by.z bz.z 0 ] 
    [ 0 0 0 1 ]