做這樣的旋轉的一個有用的方法是用quaternions來做。在實踐中，我發現它們更容易使用，並且避免了Gimbal lock的額外獎勵。
Here是一個很好的步驟，解釋瞭如何以及爲什麼它們用於圍繞任意軸旋轉（這是對用戶問題的迴應）。這是一個更高的水平，對那些不熟悉這個想法的人來說會很有幫助，所以我建議從那裏開始。
更新，以避免鏈路腐蝕
從鏈接的網站上的文字：
當你毫無疑問已經得出結論，左右旋轉穿過原點和點(a,b,c)軸 三維中的單位球體是一個線性變換，因此可以用矩陣乘法表示，即 。我們將給出一個非常光滑的確定這個矩陣的方法，但是要理解該公式的緊湊性 ，以幾個備註開始將是明智的。
輪作在三維是相當特殊的線性變換 ，尤其是因爲它們保存 矢量的長度，並且還（當兩個矢量旋轉）的 矢量之間的角度。這種轉變稱爲「正交」，他們是通過正交矩陣代表 ：
M M' = I
，我們方便地表示轉置」。換句話說，正交矩陣的轉置是其逆。
考慮定義轉換所需的數據。 您已經給出旋轉軸的符號，ai + bj + ck, 方便地假定爲單位矢量。唯一的其他數據是 旋轉角度，由於缺乏更自然的特性，我將用r（用於旋轉？）表示 ，我們將假設以 弧度給出。
現在的旋轉實際上即使在正交變換 有點特別，而事實上他們也藉助他們的是 「取向保存」屬性稱爲特殊正交變換 （或矩陣）。比較它們與 也是長度和角度保持的反射，並且您會發現保留方向的幾何特徵（或者如果您喜歡，則使用「螺旋」）在矩陣的行列式中具有數值對應物。 旋轉的矩陣具有行列式1，而反射的矩陣具有 行列式-1。事實證明，兩次旋轉的產品（或組成）又是一次旋轉，這與產品的行列式是行列式的產物（或旋轉的情況下的1）相一致。
現在我們可以描述一步一步的方法，即可以按照 構建所需的矩陣（在我們快捷整個過程之前和 跳轉到Answer！）。首先考慮其中我們旋轉 單位矢量的工序：
u = ai + bj + ck
，使得其與所述的「標準」的單位矢量的一個或許重合， K（該positve z軸）。現在我們知道如何圍繞z軸旋轉; 它做在x平時的2x2轉型的問題，Y 單獨座標：
cos(r) sin(r) 0
M = -sin(r) cos(r) 0
0 0 1
最後，我們需要「撤銷」這是把ü初始旋轉到K， 這是很容易，因爲逆該轉換是由矩陣轉置表示的（我們 回憶）。換句話說，如果 矩陣R表示旋轉服用u到K，則R」取k到U， ，我們可以寫出轉換的這樣的組合物：
R' M R
容易驗證，這矩陣乘以 倍ü時的產物，給出û回來：
R' M R u = R' M k = R' k = u
因此這確實是關於用u限定的軸線旋轉。
該表達式的一個優點在於，它清楚地分離出M對角度r的依賴關係，Q與Q對Q軸和Q軸的依賴關係。但是，如果我們必須進行詳細的計算，我們顯然會有很多矩陣乘法。
所以，到快捷方式。事實證明，當所有塵埃落定時，旋轉之間的乘法運算與四元數乘法單元 同構。如果你以前沒有見過它們，四元數是一種複數的四維泛化。他們 「發明」威廉·漢密爾頓在1843年：
[哈密頓爵士] http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Hamilton.html
和今天的3D圖形程序員都極大地在他的債務。
每個單位四元數q = q0 + q1*i + q2*j + q3*k然後定義一個旋轉矩陣：
(q0² + q1² - q2² - q3²) 2(q1q2 - q0q3) 2(q1q3 + q0q2)
Q = 2(q2q1 + q0q3) (q0² - q1² + q2² - q3²) 2(q2q3 - q0q1)
2(q3q1 - q0q2) 2(q3q2 + q0q1) (q0² - q1² - q2² + q3²)
要驗證Q是正交矩陣，即。即Q Q' = I，意味着在 本質上，Q的行形成了一個正交基。因此，對於 例如，第一行應具有長度1：
(q0² + q1² - q2² - q3²)² + 4(q1q2 - q0q3)² + 4(q1q3 + q0q2)²
= (q0² + q1² - q2² - q3²)² + 4(q1q2)² + 4(q0q3)² + 4(q1q3)² + 4(q0q2)²
= (q0² + q1² + q2² + q3²)²
= 1
和前兩行應具有點積爲零：
[ (q0² + q1² - q2² - q3²), 2(q1q2 - q0q3), 2(q1q3 + q0q2) ]
* [ 2(q2q1 + q0q3), (q0² - q1² + q2² - q3²), 2(q2q3 - q0q1) ]
= 2(q0² + q1² - q2² - q3²)(q2q1 + q0q3)
+ 2(q1q2 - q0q3)(q0² - q1² + q2² - q3²)
+ 4(q1q3 + q0q2)(q2q3 - q0q1)
= 4(q0²q1q2 + q1²q0q3 - q2²q0q3 - q3²q2q1)
+ 4(q3²q1q2 - q1²q0q3 + q2²q0q3 - q0²q2q1)
= 0
它也可以在一般的顯示det(Q) = 1，和因此Q是 真的是輪換。
但圍繞什麼軸Q旋轉？以什麼角度？那麼， 給定角度r和單位矢量：
u = ai + bj + ck
和以前一樣，對應的四元數是：
q = cos(r/2) + sin(r/2) * u
= cos(r/2) + sin(r/2) ai + sin(r/2) bj + sin(r/2) ck
與
因此：
q0 = cos(r/2), q1 = sin(r/2) a, q2 = sin(r/2) b, q3 = sin(r/2) c,
我們能夠獲得所期望的性質乘以Q「修正」u：
Q u = u
我們做一個簡單的例子，而不是通過冗長的代數突破。
令u = 0i + 0.6j + 0.8k是我們的單位矢量，r = pi是我們的旋轉角度。
然後四元數是：
q = cos(pi/2) + sin(pi/2) * u
= 0 + 0i + 0.6j + 0.8k
和旋轉矩陣：
-1 0 0
Q = 0 -0.28 0.96
0 0.96 0.28
在這種具體情況下，它是容易驗證QQ」 = I和DET（Q）= 1。
此外，我們計算的是：
Q u = [ 0, -0.28*0.6 + 0.96*0.8, 0.96*0.6 + 0.28*0.8 ]'
= [ 0, 0.6, 0.8 ]'
= u
即。單位矢量u定義了旋轉軸，因爲它由Q「固定」。
最後，我們示出了轉動的角度是PI（或180 度）通過考慮■如何作用於單位矢量的方向上的正x軸，其垂直於U形 ：
i + 0j + 0k, or as a vector, [ 1, 0, 0 ]'
然後Q [ 1, 0, 0 ]' = [-1, 0, 0 ]'其是[1，0，0 ]」通過約ù角PI的旋轉。
至於由四元這種表示旋轉和 代表性的一些額外的方法（和他們是很好 什麼）的引用，在這裏看到的細節：
[代表3D旋轉] http://gandalf-library.sourceforge.net/tutorial/report/node125.html
內容 弧度和單位矢量u
鑑於角r = AI + BJ + CK或[A，b，C]」，定義：
q0 = cos(r/2), q1 = sin(r/2) a, q2 = sin(r/2) b, q3 = sin(r/2) c
，並從這些數值構建旋轉矩陣：
(q0² + q1² - q2² - q3²) 2(q1q2 - q0q3) 2(q1q3 + q0q2)
Q = 2(q2q1 + q0q3) (q0² - q1² + q2² - q3²) 2(q2q3 - q0q1)
2(q3q1 - q0q2) 2(q3q2 + q0q1) (q0² - q1² - q2² + q3²)
乘用Q則效果所需的旋轉，特別是：
Q u = u
我發現矩陣也是，我的問題是我不明白如何使用它。我不明白的是如何創建我想要旋轉的點。謝謝你的幫助。 – Alexander
經過深思熟慮之後，輪換不是問題，我想我理解輪換。我不能做的是找到一個垂直於我的軸的向量，至少沒有與軸一起旋轉的軸（軸每隔0.0625秒改變一次，我希望以一個恆定的距離圍繞它旋轉）。 – Alexander
它現在可以工作，我使用一個UP矢量，我必須在每次旋轉時計算等。如果有需要時計算它的方法會更好。 – Alexander