重寫概率爲布爾代數

Question

我給三個二進制隨機變量：X，Y和Z.我也給出了以下幾點：

P(Z | X)

P(Z | Y)

P(X)

​​

我然後應該確定是否有可能找到P(Z | Y, X)。我嘗試以貝葉斯定理的形式重寫解決方案，並且無處可去。鑑於這些是布爾隨機變量，是否有可能用布爾代數來重寫系統？我明白條件可以映射到布爾含義（x -> y或!x + y），但我不確定這將如何轉化爲我正試圖解決的整體問題。

（是的，這是一個家庭作業問題，但在這裏我更關心如何正式解決這個問題，而不是解決方案是什麼......我也認爲這個問題對於MathOverflow來說太簡單了）

Answer 1

我敢打賭有人這樣做更優雅，但...

在這種情況下，不，不可能確定P（Z | Y，X）。一般來說，我認爲可以從一組獨立的「原子」概率開始，並在添加約束條件時將其消除。例如，在尋找X和Y，我們先從4個概率：

P(X, Y) = a 
P(X, ~Y) = b 
P(~X, Y) = c 
P(~X, ~Y) = d 

現在我們添加了probs必須加起來爲1約束，我們可以消除一個變量，任何變量，比如d：

P(X, Y) = a 
P(X, ~Y) = b 
P(~X, Y) = c 
P(~X, ~Y) = 1-a-b-c 

現在假設我們也知道P（X）= K：

P(X, Y) = a 
P(X, ~Y) = K-a 
P(~X, Y) = c 
P(~X, ~Y) = 1-K-c 

等。在陳述的問題中，我們可以消除原來八個概率中的五個，但是然後我們要求兩個仍然獨立的比率。