在MATLAB中布朗運動增量的方差

Question

我在MATLAB中模擬布朗運動，但是我得到一個奇怪的結果，布朗運動增量的方差隨着時間的增長而增長，當它保持不變時。例如我構建布朗運動系統，

brown_drift = @(t,X) 0; 
brown_vol = @(t,X) .2; 
brown_sys = bm(brown_drift, brown_vol); 

然後我插1000次試驗與時間步1和長度爲10

inter_brown = interpolate(brown_sys, 0:1:10, zeros(1,1,1000),'Times',[0]); 
inter_brown = squeeze(inter_brown); 

一個布朗運動的增量，所以如果我構建矩陣應該是獨立的的增量和方差，他們應該都是相同的，並等於波動率參數的平方。

inc = inter_brown(2:end,:)-inter_brown(1:end-1,:); 
var(inc') 
ans = 0.0374 0.1184 0.2071 0.2736 0.3516 0.4190 0.5511 0.5891 0.6767 0.7647 

但是，它顯然不能滿足簡單的理論，每個增量的方差應該是0.2^2。看起來每個增量在未來增加2 * 0.2^2增量的方差。當布朗運動似乎滿足其他理論時，我似乎無法弄清楚爲什麼會發生這種情況。在給定時間運動的方差。有什麼明顯的我在這裏失蹤？

Answer 1

有三件事情我會做出不同：

1）選擇你的你的布朗路徑更小的時間步長。您可以模擬一條路徑中更多的步驟，從而更準確地計算每條路徑中增量的計算方差（請參閱var(var(inc))）。這意味着對於每條路徑，您將得到更多類似結果的增量差異。

2）同樣增量的變化是不同的比例，如果你的時間大於1（見Volatility over time），所以你會根據您的初始時間尺度得到不同的結果。即

interpolate(brown_sys, 0:0.1:10, zeros(1,1,1000),'Times',[0]); 

將導致約0.4和

interpolate(brown_sys, 0:0.1:100, zeros(1,1,1000),'Times',[0]); 

方差將導致4方差所以只是時間更改爲：

interpolate(brown_sys, 0:dt:1, zeros(1,1,1000),'Times',[0]); 

在哪裏，你應該選擇dt非常小，即dt = 0.001;

3）你應該考慮inc的方差而不是轉置的方差。因爲您獲得的矩陣inter_brown在每列上都有模擬路徑。所以屬於一條路徑的步驟應該在一列中。因此，您計算的矩陣inc包含根據列中一個路徑的增量。矩陣的var()計算一列中存儲的樣本的方差。所以如果你想知道你的第一條路徑增量的變化，你將不得不打電話：var(inc(:,1))。調用var(inc)會爲您提供每個路徑的方差。你可以用plot(var(inc))來繪製它們。如您所料，您將會看到增量的差異大約爲0.04。用mean(var(inc))檢查。