如何從3D平面和已知原點計算新的基礎（變換矩陣）？

Question

給定一個3D平面及其上的任意點，我想要考慮原點(0,0,0)的一個新的基礎，有可能：（A）從這個信息定義一個基礎？ （B）創建一個轉換矩陣，允許我在世界空間和新基礎之間進行轉換？

我可以假設轉換是仿射的。

非常感謝！

Answer 1

簡短的回答是肯定的，但既然你只有一架飛機，新基準的方向將是任意的。

比方說你有一個點ķ是位於飛機P，你想點ķ爲您的原點。您有P =（N，d）其中N是歸一化平面法線和d是從原點到飛機的距離。

要在這個平面確定與任意方向正交基 定義3個載體右[R，同比增長ü和正常ñ

我們已經有ñ這只不過是正常的平面

U = (0,1,0) 
// If U is pointing in almost the same direction as N, change it 
if (U.N > 0.7071) U = (0, 0, 1); 
R = normalise (U x N) 
U = normalise (N x R) // U was not orthonormal 

現在定義的3×3變換矩陣中號其中矩陣的3行分別是R，U和N.

 R 
M = (U) 
     N 

現在讓我們假設你想在你的平面上的點p進行改造，以點P」。

p' = M (p - k) 

如果你想要做的這一切都是一個矩陣可以M和平移矢量-k合併成一個4x4矩陣均勻。 注：

1. 的是上面是矢量點積上述
2. x是矢量叉積

HTH