計算切線垂直於錨線的三次貝塞爾T值

在線p1，p4上投影一個三次貝塞爾p1，p2，p3，p4。當p2或p3不投影到p1和p4之間的線段上時，曲線將從錨點凸出。有沒有辦法計算曲線的切線垂直於錨線的T值？計算切線垂直於錨線的三次貝塞爾T值

這也可以被描述爲找到投影曲線離線段p1，p4的中心最遠的T值。當p2和p3投影到線段上時，則解分別爲0和1。有沒有解決更有趣的案例的方程式？

T值似乎只取決於映射控制點距錨線段的距離。

我可以通過提煉猜測來確定價值，但我希望有更好的方法。

編輯：

與P1開始，...，P4與值X1，Y1，2D ...，X4，Y4我使用基於答案從菲利普下面的代碼：

dx = x4 - x1; 
dy = y4 - y1; 
d2 = dx*dx + dy*dy; 
p1 = ((x2-x1)*dx + (y2-y1)*dy)/d2; 
p2 = ((x3-x1)*dx + (y3-y1)*dy)/d2; 
tr = sqrt(p1*p1 - p1*p2 - p1 + p2*p2); 
t1 = (2*p1 - p2 - tr)/(3*p1 - 3*p2 + 1); 
t2 = (2*p1 - p2 + tr)/(3*p1 - 3*p2 + 1);

在我看的樣本中，t2必須從1.0中減去，然後才能正確。

來源

2010-04-20 drawnonward

您也可以嘗試http://mathoverflow.net/ – 2010-04-20 05:25:13

讓我們假設你有一個一維三次Bezier曲線與P0 = 0和P3 = 1然後曲線是：

P(t) = b0,3(t)*0 + b1,3(t)*P1 + b2,3(t)*P2 + b3,3(t)*1

凡bi,3(t)的等級爲3的Bernstein polynomials然後，我們正在尋找的t這個地方的價值P(t)是最小和最大的，所以我們得出：

P'(t) = b1,3'(t)*P1 + b2,3'(t)*P2 + b3,3'(t) 
     = (3 - 12t + 9t^2)*P1 + (6t - 9t^2)*P2 + 3t^2 
     = 0

這有一個封閉的形式，但平凡的解決方案。據WolframAlpha的，當3P1 - 3P2 +1 != 0是：

t = [2*P1 - P2 +/- sqrt(P1^2-P1*P2-P1+P2^2)]/(3*P1 - 3*P2 + 1)

否則，它是：

t = 3P1/(6P1 - 2)

對於一般的n維三次貝塞爾P0 * P1 *，P2 *，P3 *計算：

P1 = proj(P1*, P03*)/|P3* - P0*| 
P2 = proj(P2*, P03*)/|P3* - P0*|

其中proj(P, P03*)是從P0*到點P的點的距離，通過P0* d P3*。

（我沒有檢查這一點，所以請確認沒有什麼錯在我的推理。）

來源

2010-04-20 05:42:04

的sqrt（... P2 * 2）應是P2^2 – drawnonward 2010-04-20 08:44:28

謝謝，這按預期工作。從+/-中獲得兩個有效值時，我的試驗中需要從1.0中減去+結果。它有時可能是相反的。 – drawnonward 2010-04-20 08:52:26

它可能來自你計算'proj（）'的方式。它需要是來自'P0 *'的有符號距離，這意味着如果它從'P3 *'向'P0 *'一側投射，它應該是負值。 – 2010-04-20 14:36:33

計算切線垂直於錨線的三次貝塞爾T值

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